括号从何而来
取任意一个结合代数——比如域上的 n×n 矩阵——问问两个元素有多不交换。这个度量就是换位子 [x,y]=xy−yx。把原来的乘法丢掉，只保留这个括号：剩下的就是一个 李代数。要点在于，括号忘掉了乘法中依赖次序的部分，恰好保留了连续群所携带的无穷小对称。
形式地说，域 k 上的李代数是一个向量空间 L，配有一个 双线性映射 [·,·]:L×L→L，即 李括号，它反对称（[x,x]=0，故 [x,y]=−[y,x]），并满足 Jacobi 恒等式 [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0。注意*没有*要求什么：不要求结合律，不要求单位元。Jacobi 恒等式正是结合律投射到括号上的影子。
结构常数与例子 sl(2)
一旦固定一组基 e_1,…,e_n，括号就由 结构常数 c_{ij}^k 决定，定义为 [e_i,e_j]=Σ_k c_{ij}^k e_k。反对称性给出 c_{ij}^k=−c_{ji}^k；Jacobi 恒等式成为 c 之间的一个二次关系。有限维李代数的一切原则上都编码在这张数表里——不过我们将看到，*有用*的不变量远比原始数表经济得多。
sl(2,C): traceless 2x2 complex matrices, dim 3.
Basis:
e = [0, 1; 0, 0] h = [1, 0; 0, -1] f = [0, 0; 1, 0]
Compute the bracket [x,y] = xy - yx directly:
[h,e] = h e - e h
= [0, 2; 0, 0] - [0, -2; 0, 0] = [0, 4; 0, 0]? -- recompute
h e = [1,0;0,-1][0,1;0,0] = [0, 1; 0, 0]
e h = [0,1;0,0][1,0;0,-1] = [0, -1; 0, 0]
[h,e] = [0,1;0,0] - [0,-1;0,0] = [0, 2; 0, 0] = 2e
[h,f] = h f - f h = [0,0;-1,0] - [0,0;1,0] = -2f
[e,f] = e f - f e = [1,0;0,0] - [0,0;0,1] = [1,0;0,-1] = h
Structure constants (the whole table):
[h,e] = 2e , [h,f] = -2f , [e,f] = h
(all others fixed by antisymmetry, e.g. [e,h] = -2e)
Check Jacobi on (e,f,h):
[e,[f,h]] + [f,[h,e]] + [h,[e,f]]
= [e, 2f] + [f, 2e] + [h, h]
= 2[e,f] + 2[f,e] + 0 = 2h - 2h + 0 = 0. OK.贯穿始终的有三个族：所有 n×n 矩阵配换位子构成的一般线性代数 gl(n,k)；无迹矩阵构成的特殊线性代数 sl(n,k)（一个 理想，因为总有 tr[x,y]=0）；以及反对称矩阵构成的正交代数 so(n)。这些是*经典*李代数，而本轨道末尾的分类本质上就是说：在 ℂ 上，它们（连同辛族与五个例外）就是全部单李代数。
伴随表示：李代数作用在自身上
固定 x∈L，考虑映射 ad(x):L→L，ad(x)(y)=[x,y]。这就是 伴随表示，它是整个学科的引擎。把 Jacobi 恒等式正确地读出来，恰好是说 ad(x) 是括号的一个导子：ad(x)[y,z]=[ad(x)y,z]+[y,ad(x)z]。它还说明 x↦ad(x) 是到 gl(L) 的李代数 同态，即 ad([x,y])=ad(x)ad(y)−ad(y)ad(x)。