公式、应用题与解集

变形字母方程

字母方程含有多个字母，例如一个公式。变形公式意味着求解某一个选定的字母，而把其余字母当作已知常数对待。所用的操作与普通求解完全相同——逆运算、两边同时——只是你携带的是字母而非数字，并在目标字母单独留下时停手。

Solve the area formula   A = (1/2) b h   for h.

Multiply both sides by 2:
  2A = b h
Divide both sides by b:
  2A / b = h

So  h = 2A / b.
Check the logic: if A = 10 and b = 4, then h = 20/4 = 5,
and (1/2)(4)(5) = 10 = A.  Consistent.

把 A 和 b 当作已知；用同样的逆运算孤立 h。

翻译应用题

应用题靠翻译来解，而非靠魔法。用一个字母给未知量命名，把文字描述的关系写成方程，求解它，然后把答案翻译回原来的单位，并对照题意检验。

读懂问题，确定未知量到底是什么；给它命名（设 x = …）。
把每个关系翻译成代数：“是”变成 =，“多……”变成 +，“的”常变成 ×。
通过孤立变量求解方程。
结合情境解释这个数，并检查它是否回答了真正的问题。

Word problem: A shirt costs $8 more than twice the price of a cap.
Together they cost $50. Find the price of the cap.

Let c = price of the cap (in dollars).
Shirt = 2c + 8.
Together:  c + (2c + 8) = 50
           3c + 8 = 50
           3c = 42
           c = 14

Cap = $14, shirt = 2(14) + 8 = $36, and 14 + 36 = 50.  Story checks out.

命名未知量、翻译、求解，再用“元”来解释。

恒等式、矛盾式与干净的答案

并非每个一次方程都恰好有一个解。如果求解过程中变量消去、只剩下一个恒成立的式子（如 5 = 5），这个方程就是恒等式，每个数都是解。如果剩下的是恒不成立的式子（如 5 = 8），它就是矛盾式，无解。这两种结果都是诚实的答案，而非错误——认出它们能让你不去追逐一个根本不存在的 x。

Identity:   2(x + 3) = 2x + 6
  2x + 6 = 2x + 6  ->  0 = 0  (always true)
  Solution set: all real numbers,  (-infinity, infinity).

Contradiction:  x + 1 = x + 4
  1 = 4  (never true)
  Solution set: empty set,  no solution.

当 x 消失时：恒真表示全体实数；恒假表示无解。