不等式：一次、复合与绝对值

求解一次不等式

一次不等式用不等号（<、>、≤ 或 ≥）代替等号，所以它的解集通常是一整段数的范围，而不是单一取值。你用与方程完全相同的平衡步骤来解它，但有一个关键例外：两边同时乘以或除以负数时，要翻转不等号。加、减以及乘除正数都不改变不等号方向。

Solve   -2x + 1 < 9

Subtract 1 from both sides (symbol unchanged):
  -2x < 8
Divide both sides by -2  ->  FLIP the symbol:
  x > -4

Solution set: all x greater than -4.
Interval notation: (-4, infinity).
Quick test x = 0: -2(0) + 1 = 1 < 9  TRUE, and 0 > -4. Consistent.

除以 -2 时，< 翻转为 >。

复合不等式：且 / 或

复合不等式把两个条件连在一起。像 -1 ≤ 2x + 3 < 7 这样的且型必须同时满足两个条件；解法是对三部分同时做同样的运算。而像 x < -2 或 x > 5 这样的或型，只要任一部分成立即可，其解由两段分开的区间组成。

Solve   -1 <= 2x + 3 < 7   (an 'and')

Subtract 3 from all three parts:
  -4 <= 2x < 4
Divide all three parts by 2 (positive, no flip):
  -2 <= x < 2

Solution set: all x with -2 <= x < 2.
Interval notation: [-2, 2).

对“且”型不等式的三个部分同时做每一步。

绝对值不等式

由于绝对值度量到零的距离，绝对值不等式会化成复合不等式。小于意味着“离零近”，是且型：|x| < 5 化成 -5 < x < 5。大于意味着“离零远”，是或型：|x| > 5 化成 x < -5 或 x > 5。一个好记的口诀是“小于配且，大于配或”。

Solve   |2x - 1| <= 7   (less-than -> 'and')

Rewrite as a double inequality:
  -7 <= 2x - 1 <= 7
Add 1 to all parts:
  -6 <= 2x <= 8
Divide all parts by 2:
  -3 <= x <= 4

Interval notation: [-3, 4].

“小于”型绝对值展开成一条“且”型连不等式。