初等矩阵暗中满足哪些关系？
第 2 篇里我们用到了 Steinberg 关系——初等矩阵 e_ij(r) 显然满足的恒等式。现在把问题反过来。写下由符号 x_ij(r) 生成、仅服从那些显然关系的抽象群 St(R)，再经 x_ij(r) ↦ e_ij(r) 把它映满到 E(R)。倘若显然关系就是全部关系，此映射便是同构。K_2 恰是其失败：K_2(R) = ker(St(R) → E(R))。它是行变换之间暗藏关系的群。
Steinberg group St(R): generators x_ij(r), i != j, r in R, relations
(S1) x_ij(r) x_ij(s) = x_ij(r+s)
(S2) [ x_ij(r), x_kl(s) ] = 1 if j != k and i != l
(S3) [ x_ij(r), x_jk(s) ] = x_ik(rs) if i != k
There is a surjection phi: St(R) -> E(R), x_ij(r) |-> e_ij(r).
Definition: K_2(R) := ker( phi ) = ker( St(R) -> E(R) ).
Key structural fact (Milnor):
1 -> K_2(R) -> St(R) -> E(R) -> 1
is a CENTRAL extension, and in fact the UNIVERSAL central extension
of the perfect group E(R). Hence
K_2(R) = center of St(R) = H_2(E(R); Z),
the Schur multiplier of E(R).可以亲手计算的 Steinberg 符号
在你手上握有一个元素之前，K_2 都是抽象的。对域 k，K_2(k) 中每个类都由 Steinberg 符号 {u, v} 构造，对单位 u, v ∈ k^× 有定义。它们是双线性的，并满足一条令人瞩目的额外关系，正是它赋予理论以风味。
Steinberg symbol {u, v} in K_2(k), for u, v in k^x. Rules:
(bi-1) {u u', v} = {u, v}{u', v}
(bi-2) {u, v v'} = {u, v}{u, v'}
(STEINBERG) {u, 1 - u} = 1 whenever u != 0, 1.
Consequences you can derive in two lines:
* {u, -u} = 1. (since -u = (1-u)/(1-u^{-1}), then expand)
* {u, v} = {v, u}^{-1} (skew-symmetry)
* {u, u} = {u, -1} (a 2-torsion-flavored identity)
Matsumoto's theorem: for a field k,
K_2(k) = (k^x (x) k^x) / < u (x) (1-u) >,
the free thing on symbols modulo exactly the Steinberg relation.
Worked value: K_2(F_q) = 0 for every finite field F_q
(every symbol is trivial because k^x is cyclic and the relation bites).关系 {u, 1 − u} = 1 应当显得诡异：它是 Steinberg 关系的 K 理论化身，而且惊人地，同一套代数掌控着双对数、数论中的 tame 符号以及 Hilbert 符号。仅把这些规则推广到所有次数，便得到 Milnor K 理论 K^M_n(k) = (k^×)^⊗n 模去 Steinberg 关系——一种亲力亲为的理论，凭 Bloch–Kato 定理它计算 Galois 上同调。
Quillen 跃向全体高阶 K
我们现在通过三种临时构造得到了 K_0、K_1、K_2。归功于 Quillen 的奇迹是：它们——连同无穷多个高阶 K 群 K_n——都来自单一的空间。取分类空间 BGL(R)，它连通但有错误的、非阿贝尔的基本群。加号构造在不改变同调的前提下手术式地杀掉完全子群 E(R) ⊆ π_1，造出空间 BGL(R)^+。对 n ≥ 1 定义 K_n(R) = π_n(BGL(R)^+)。
- 验证新定义重现旧定义：π_1(BGL^+) = GL/E = K_1，且 π_2(BGL^+) = H_2(E) = K_2。一致性成立。
- 于是对所有 n ≥ 1，K_n 不过是一个高阶同伦群——自动阿贝尔，因为空间的 π_n 当 n ≥ 2 时是阿贝尔的。
- 第 3 篇的局部化序列如今是同伦群的真正长正合列，永远向上延伸。
Quillen 随即算出了有限域的 K 理论：对 i ≥ 1，K_{2i-1}(F_q) ≅ Z/(q^i − 1) 且 K_{2i}(F_q) = 0。一个纯代数的环竟有像空间同伦群那样编号的 K 群——而且可计算——这正是全部要点。Z 的高阶 K 群至今尚未全部知晓；计算它们与深刻的数论纠缠在一起，而那正是第 5 篇的去向。