把一般线性群稳定化
K_0 由模构造；K_1 则由它们的自同构构造——也就是由可逆矩阵构造。作 GL(n, R)，并经 A ↦ 分块矩阵 [A, 0; 0, 1] 嵌入 GL(n, R) ↪ GL(n+1, R)。所有这些的并就是稳定一般线性群 GL(R) = colim GL(n, R)。稳定化丢弃了「某个特定尺寸」的偶然性，只保留在所有大矩阵中都存活的东西——与从自由过渡到稳定自由是同一种直觉。
在 GL(n, R) 内坐着初等矩阵 e_ij(r) = I + r·E_ij，即在 (i, j)（i ≠ j）位放一个非对角元 r 的单位阵。它们恰是执行一次行变换的矩阵。它们（稳定地）生成的子群是 E(R) ⊆ GL(R)。于是定义短得令人不安：K_1(R) = GL(R) / E(R)。
Whitehead 引理
为何 K_1 = GL/E 是合理的——尤其，为何它是阿贝尔的？因为 E(R) 恰好就是 GL(R) 的换位子群。这就是 Whitehead 引理，K_1 的技术核心，而它依赖于一条你可以手算验证的干净矩阵恒等式。
Two facts give E(R) = [GL(R), GL(R)].
(1) Elementary matrices are commutators (n >= 3).
For distinct i, j, k the Steinberg relation says
[ e_ik(r), e_kj(1) ] = e_ij(r).
So each generator of E is a commutator => E <= [GL, GL].
(2) Every commutator is elementary, stably. For g in GL(n, R),
the 2n x 2n block matrix
[ g, 0 ; 0, g^{-1} ]
lies in E(R), because
[ g, 0 ; 0, g^{-1} ]
= [ I, g ; 0, I ] [ I, 0 ; -g^{-1}, I ] [ I, g ; 0, I ] [ 0, -I ; I, 0 ],
and each factor is a product of elementary matrices.
Apply this to a commutator [a,b]: the block-diagonal
[ [a,b], 0 ; 0, I ] = [ [a,b], 0 ; 0, [a,b]^{-1} ] * [ I, 0 ; 0, [a,b] ]
is elementary => [GL, GL] <= E.
Hence E(R) = [GL(R), GL(R)], so
K_1(R) = GL(R) / E(R) = GL(R)^{ab} (abelianization).还原行列式
现在是回报。行列式 det: GL(n, R) → R^× 是同态，它在行变换下不变，故杀死 E(R)，并且它稳定（[A, 0; 0, 1] 的行列式等于 det A）。于是 det 降到映射 K_1(R) → R^×。在域上，此映射是同构：K_1(域 k) ≅ k^×。所以行列式一直就是 K_1——可逆矩阵在稳定化后存活下来的那个万有不变量。
对更一般的环，det: K_1(R) → R^× 仍是满射（1×1 矩阵 [u] 的行列式为 u），其核 SK_1(R) 才是真正有趣、困难的部分。对欧几里得整环 SK_1 消失，K_1 ≅ R^×；对数域的整数环它也消失，这是 Bass–Milnor–Serre 的定理。群环的 Whitehead 群，即 K_1(Z[G]) 模去平凡单位，正是拓扑学家用来判定一个同伦等价何时是真正形变的工具。