从幺半群到群
这是 K 理论反复要解决的问题。你手上有一族对象，它们能相加（直和）却不能相减，而你想要一个群。对交换环 R，取有限生成射影模的同构类集合。在直和之下这是一个交换幺半群：满足结合律，以零模为单位元，但没有逆元——你无法把一个模「减回去」。Grothendieck 群 K_0(R) 正是通过形式地添上逆元而得到的万有群，恰如 Z 由自然数在加法下构造而来。
具体地说，K_0(R) 的元素是射影模的形式差 [P] − [Q]，并遵守 [P ⊕ Q] = [P] + [Q]。两个这样的差相等，当且仅当它们在加上一个公共模之后一致——这正是让 3 − 5 与 1 − 3 表示同一个整数的那个把戏。
万有性质，精确陈述
这一构造受一条干净的万有性质支配。设 (M, +) 是交换幺半群。则存在一个阿贝尔群 K(M) 及幺半群映射 M → K(M)，使得任何到阿贝尔群 A 的幺半群映射 M → A 都唯一地经它分解。这使 K(M) 在同构意义下唯一，于是我们永远不必纠结选了哪种构造——这是本学科中反复出现的安慰。
- 构造对 (a, b) ∈ M × M，把 (a, b) 想成形式差 a − b。
- 规定 (a, b) ∼ (c, d) 当存在 e ∈ M 使 a + d + e = b + c + e（多出的 e 吸收不可消去的元素）。
- 按分量相加；商掉 ∼ 即得 K(M)，其中 −(a, b) = (b, a)。
Example: R = field k (or any PID, e.g. Z).
Every finitely generated projective module over a field is free,
so it is just k^n, determined by its rank n >= 0.
Monoid of iso-classes: {0, k, k^2, k^3, ...} = (N, +) via n <-> k^n.
[k^m] + [k^n] = [k^(m+n)] matches m + n.
Grothendieck group of (N, +) is (Z, +).
The map [P] |-> rank(P) is an isomorphism
K_0(k) ~= Z , and likewise K_0(Z) ~= Z.
The class [k^n] goes to n; the formal difference [k^a] - [k^b] goes to a - b.稳定自由，与第一个意外
在 K_0 中，我们至多只能在「相差自由部分」的意义下辨认模。称射影模 P 为稳定自由，若存在 m, n 使 P ⊕ R^m ≅ R^n。这样的 P 在 K_0 中给出 [P] = n − m——与真正自由模相同的类。所以 K_0 看不出稳定自由与自由之间的差别；而这一差别正是下一个不变量 K_1 将开始察觉的。
对你最先遇到的多数环——域、Z、任意主理想整环——K_0 就是 Z，约化部分 K̃_0 = K_0 / Z 消失。只有当射影模可以不自由时，这个不变量才真正活起来。最干净的例子是数域的整数环：那里 K̃_0(O_K) 正是理想类群，我们将在第 5 篇回到这个美丽的巧合。