对偶互换乘法与余乘法
设 H 是有限维 Hopf 代数，H* = Hom(H, k) 是其对偶空间。对偶化每支结构映射并利用 (H⊗H)* ≅ H*⊗H*，把 H* 变成 Hopf 代数。H* 上的乘法是 Δ 的转置：(φ·ψ)(h) = (φ⊗ψ)(Δh) = φ(h₍₁₎)ψ(h₍₂₎)——注意这恰是 φ 与 ψ 到 k 的卷积。H* 上的余乘法是 m 的转置。H* 的余单位是在 1 处取值；单位是 ε；对极是 S*。一句话：对偶 Hopf 代数就是把 m 与 Δ 的角色对调后的同一组数据。
把有限群看两遍
取 G 有限。其群代数 k[G] 是以类群元为基的 Hopf 代数。其对偶是 O(G)，即 G 上取值于 k 的函数代数（逐点乘法），以指示函数的对偶基 {δ_g} 为基。看角色如何互换。在 k[G] 中乘积是群法则 g·h；对偶化后，O(G) 上的余乘法是 Δ(δ_x) = Σ_{g h = x} δ_g ⊗ δ_h——它记住了群法则。同时 O(G) 中的乘积是逐点的，δ_g δ_h = δ_{g,h} δ_g，对偶化为 k[G] 的类群 Δ(g)=g⊗g。群法则与对角线交换了位置。
G = Z/3Z = {0, 1, 2}, additive group. Two dual Hopf algebras.
(1) Group algebra k[G], basis e_0, e_1, e_2 (grouplike):
e_i . e_j = e_{i+j mod 3} (twisted convolution product)
Delta(e_i) = e_i (x) e_i, eps(e_i) = 1, S(e_i) = e_{-i}.
(2) Functions O(G), basis d_0, d_1, d_2 (indicator functions):
d_i . d_j = delta_{ij} d_i (pointwise product, idempotents)
Delta(d_k) = sum_{i+j = k mod 3} d_i (x) d_j, eps(d_k)=delta_{k,0},
S(d_k) = d_{-k}.
Pairing <d_i, e_j> = delta_{ij} identifies O(G) = k[G]*.
Check the swap once: the product e_1 . e_1 = e_2 in k[G]
corresponds, under transpose, to the coefficient of d_1 (x) d_1
in Delta(d_2) -- and indeed 1+1 = 2, so d_1 (x) d_1 appears. Consistent.
Note: for abelian G these two Hopf algebras are isomorphic via the
characters (Pontryagin / Fourier duality). For nonabelian G they differ:
k[G] is cocommutative but noncommutative; O(G) is commutative but not
cocommutative.余模：把作用对偶化
也把模的概念对偶化。余代数 C 上的右余模是配有余作用 ρ: V → V⊗C 的向量空间，满足镜像于模公理的余结合律与余单位条件。在 O(G) 上，余模就是 G-分次向量空间；在 k[G] 上，余模就是表示。故模／余模对偶把 G 的表示与 G-分次互换——具体、有用，并且是末篇中量子群余模如何编码辫结构的模板。