Hopf 代数与对极

定义方程

Hopf 代数是配有线性映射 S: H → H 的双代数，S 称为对极，满足一条方程。回忆上一篇：End(H) 在卷积 * 下是代数，单位为 u∘ε。对极公理就是说 S 是恒等映射的双侧 *-逆：S * id = id * S = u∘ε。用 Sweedler 记号写作 S(h₍₁₎) h₍₂₎ = ε(h) 1 = h₍₁₎ S(h₍₂₎)。这就是全部定义——一条短方程，却异常有力。

在两个例子上计算 S

在群代数 k[G] 上，每个 g 是类群元，Δ(g) = g⊗g，ε(g)=1。对极公理 S(g)·g = ε(g)1 = 1 强制 S(g) = g⁻¹。对极字面上就是群求逆，再线性延拓。这是把对极视为广义逆的最干净理由。在李代数 g 的泛包络代数 U(g) 上，生成元 x∈g 是本原的：Δ(x) = x⊗1 + 1⊗x，ε(x)=0。公理此时给出 S(x) = −x：在本原元上对极是取负，是把单参数子群 exp(tx) 反演为 exp(−tx) 的代数影子。

Antipode on a primitive element x:  Delta(x) = x (x) 1 + 1 (x) x,  eps(x)=0.

Demand  S(x_(1)) x_(2) = eps(x) 1 = 0.
Expand the left side over the two Sweedler terms of Delta(x):
  S(x).1 + S(1).x = 0.
Since S(1) = 1 (antipode fixes the unit), this is
  S(x) + x = 0   =>   S(x) = -x.   QED.

Antipode is an ANTI-homomorphism:  S(ab) = S(b) S(a).
Check on U(g) with primitives x, y:
  S(xy) should equal S(y)S(x) = (-y)(-x) = yx.
  Also S(yx) = S(x)S(y) = xy.
  Difference:  S(xy) - S(yx) = yx - xy = -[x,y] ... wait, recompute:
     S(xy - yx) = S([x,y]).  Since [x,y] is primitive,
     S([x,y]) = -[x,y] = -(xy - yx) = yx - xy. Consistent. OK.

So S reverses order, matching (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} in groups.

类群元上 S(g)=g⁻¹，本原元上 S(x)=−x，一般地 S(ab)=S(b)S(a)。

自动落下的性质

从这一条公理出发，用干净的卷积论证可推出 S 是代数反同态——S(ab) = S(b)S(a)，S(1) = 1——且是余代数反同态。次序反转对应 (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹。要诚实面对一个微妙处：S 未必是自身的逆。在交换或余交换 Hopf 代数中 S² = id，但一般地——尤其在第 5 篇的量子群中——S² 是非平凡的自同构。S² = id 的失效，是量子群并非伪装的群的最初信号之一。