相容性意味着什么
双代数是一个向量空间 B，它既是代数 (m, u) 又是余代数 (Δ, ε)，且两种结构相容。陈述相容性有两种等价方式，值得看清它们重合。版本 A：Δ: B → B⊗B 与 ε: B → k 是代数同态（其中 B⊗B 带张量积代数结构）。版本 B：m: B⊗B → B 与 u: k → B 是余代数同态。对称性正是要点——乘法与余乘法地位平等。
在元素上展开版本 A：Δ(ab) = Δ(a)Δ(b)，右边的乘积取在 B⊗B 中，即 (a₍₁₎⊗a₍₂₎)(b₍₁₎⊗b₍₂₎) = a₍₁₎b₍₁₎ ⊗ a₍₂₎b₍₂₎。此外 Δ(1) = 1⊗1，ε(ab) = ε(a)ε(b)，且 ε(1) = 1。这就是全部定义。后面的一切——对极、量子群——都活在双代数之内。
为何这是正确的公理
表示论解释了这一选择。若 B = k[G]，而 V、W 是模——即表示——它们的张量积 V⊗W 经由 g·(v⊗w) = gv⊗gw 仍是一个表示。仔细看：这条公式恰是 Δ(g) = g⊗g 在作用。余乘法告诉你单一元素如何作用在表示的张量积上。相容性（Δ 是同态）正是使 V⊗W 成为 B-模而非仅仅 B⊗B-模的条件。余单位给出平凡的一维表示。故双代数恰是使 B 的模范畴成为张量范畴的结构。
卷积乘积
一个双代数 C（这里只需余代数那一面）连同任意代数 A，一起把线性映射空间 Hom(C, A) 变成一个代数。给定 f, g: C → A，定义它们的卷积乘积为 (f * g)(c) = m_A(f⊗g)Δ(c) = Σ f(c₍₁₎) g(c₍₂₎)。余结合律使 * 结合；其单位是 u_A ∘ ε，即映射 c ↦ ε(c)1_A。这一构造是下一篇的引擎：对极将被定义为恒等映射的卷积逆。
Convolution on End(C) = Hom(C, C), with C a bialgebra.
Product: (f * g)(c) = f(c_(1)) . g(c_(2)) (sum over Sweedler indices)
Unit: e(c) = eps(c) 1_C
Associativity, checked by coassociativity:
((f * g) * h)(c)
= (f * g)(c_(1)) . h(c_(2))
= f(c_(1)) g(c_(2)) h(c_(3)) [coassoc: regroup the three legs]
= f(c_(1)) . (g * h)(c_(2))
= (f * (g * h))(c).
Unit law:
(e * f)(c) = e(c_(1)) f(c_(2)) = eps(c_(1)) 1 . f(c_(2))
= f( eps(c_(1)) c_(2) ) = f(c). [counit axiom]
So (End(C), *, e) is a genuine associative unital algebra.
Next guide: an antipode S is the *-inverse of id, i.e. S * id = id * S = e.