把乘法画成一支映射
从你熟悉的地方出发。域 k 上的结合代数是一个向量空间 A，配上一个 k-线性的乘法。让一切可以对偶化的诀窍，是把乘法不记作二元运算 a·b，而记作从张量积出发的单一线性映射 m: A⊗A → A——这正是张量积的泛性质所允许的，因为乘法是双线性的。单位元 1 成为一支映射 u: k → A，把标量 1 送到 1∈A。结合律与单位律现在是线性映射的交换图表，而非元素之间的等式。
结合律说，给三重积加括号的两种方式一致：作为映射 A⊗A⊗A → A，有 m∘(m⊗id) = m∘(id⊗m)。单位律说，在认同 k⊗A ≅ A ≅ A⊗k 之后，m∘(u⊗id) = id = m∘(id⊗u)。目前没有新东西——但这样书写意味着每个符号都能被镜像反射。
把每支箭头都翻转
把 m 与 u 反向，得到的就是余代数。余乘法是线性映射 Δ: C → C⊗C；余单位是 ε: C → k。两条公理是代数公理的镜像。余结合律：作为映射 C → C⊗C⊗C，有 (Δ⊗id)∘Δ = (id⊗Δ)∘Δ。余单位律：(ε⊗id)∘Δ = id = (id⊗ε)∘Δ。照字面读，余乘法把一个元素散布为若干张量对之和，而余单位是把某个张量分量塌回标量的方式。
要记住的两个例子
其一，有限群 G 的群代数 k[G]。作为代数它就是熟悉的群代数。作为余代数，在每个基元 g∈G 上定义 Δ(g) = g⊗g 与 ε(g) = 1，再线性延拓。余结合律立即成立：两边都给出 g⊗g⊗g。这样的 g 称为类群元——它余乘成自身的完美复本。其二，函数空间余代数：有限维代数的线性对偶自动是余代数，因为对偶化 m: A⊗A → A 给出映射 A* → (A⊗A)* ≅ A*⊗A*。对偶空间正是这两种结构交换位置之处。
Coassociativity check for the group algebra k[G].
Basis: the elements g in G. Define on basis vectors
Delta(g) = g (x) g, eps(g) = 1,
and extend k-linearly.
Left branch: (Delta (x) id) Delta(g)
= (Delta (x) id)(g (x) g)
= Delta(g) (x) g
= (g (x) g) (x) g
= g (x) g (x) g.
Right branch: (id (x) Delta) Delta(g)
= (id (x) Delta)(g (x) g)
= g (x) Delta(g)
= g (x) (g (x) g)
= g (x) g (x) g.
Equal. So coassociativity holds on a basis, hence everywhere.
Counit: (eps (x) id) Delta(g) = eps(g) g = 1.g = g. OK.
(id (x) eps) Delta(g) = g . eps(g) = g. OK.
Contrast: a *primitive* element x would have
Delta(x) = x (x) 1 + 1 (x) x, eps(x) = 0,
the coalgebra shadow of the Leibniz rule. We meet these in Guide 3.