分解：用自由与内射部件逼近模

分解为何而设

模很复杂；自由模与投射模很简单，因为从它们出发的映射易于掌控。模 M 的投射分解是一条正合列 ... → P_2 → P_1 → P_0 → M → 0，每个 P_i 都投射。把它读作映满 M 的复形 P_•（去掉 M），这是一个拟同构：P_• 的同调集中在第 0 度并等于 M，别处为零。我们已把 M 替换成了一个由优良部件构成的复形。

亲手构造一个

取 R = ℤ 与 M = ℤ/6ℤ。让自由模满射到它：ℤ → ℤ/6ℤ，1 ↦ 1。核是 6ℤ，本身是秩一的自由模。于是再用一个自由模覆盖核便完成——在PID 上自由模的每个子模都自由，故分解两步即止。

Resolve M = Z/6Z over Z:

   0 -> Z --(x6)--> Z --pi--> Z/6Z -> 0
        P_1        P_0

Check exactness:
  - pi onto:           yes, pi(1) generates Z/6Z.
  - ker pi = 6Z:       pi(n)=0 iff 6 | n.
  - x6 image = 6Z:     matches ker pi exactly  -> exact at P_0.
  - x6 injective:      6n=0 => n=0            -> exact at P_1.

So a projective (= free) resolution is
   P_*:  ... 0 -> Z --x6--> Z -> 0   (degrees 1, 0)
with H_0(P_*) = Z/6Z and H_n = 0 for n>0.  Length 1: 'projective
dimension' of Z/6Z over Z is 1, the hallmark of a PID (gl.dim <= 1).

在 PID 上分解长度至多为 1。同一条 0 → ℤ →(×6) ℤ → ℤ/6 → 0 将在下一篇计算 Ext 与 Tor。

为何选择无关紧要

你本可以用不同方式分解 ℤ/6——加衬垫、用更大的自由模——得到不同的复形。比较定理救了我们：同一个模的任意两个投射分解都是链同伦等价的，从而拟同构。证明是一次巧妙的抬升，利用投射性逐步对着正合的目标填入映射。

给定 P_• → M 与 Q_• → M，把 M 上的恒等抬升为链映射 P_• → Q_•，借 P_n 的投射性逐度构造 f_n。
反方向再抬升恒等得 g_•: Q_• → P_•，同样利用每个 Q_n 的投射性。
证明 g ∘ f 与恒等都抬升 M 上的恒等，故由同一引理“至多差一个同伦”的部分它们链同伦；f ∘ g 亦然。于是是同伦等价。

因为“先施函子再取同调”在链同伦下不变，我们从分解构造的每个不变量——Ext、Tor、导出函子——都与所选分解无关。这种无关性正是我们用最方便的分解去计算的许可证。