d 的平方等于零
环 R 上模的链复形是一列复合后归零的映射。写成 ... → C_2 → C_1 → C_0 → 0，边缘映射 d_n: C_n → C_{n-1}，服从唯一的神圣法则 d_{n-1} ∘ d_n = 0。这一条件说每个映射的像落在下一个映射的核里面：im d_{n+1} ⊆ ker d_n。整个学科都源于追问像比核小多少。
ker d_n 的元素称为闭链（记作 Z_n）——被送到零的东西。im d_{n+1} 的元素称为边缘（记作 B_n）——从高一维来的东西。因为 d² = 0，每个边缘都是闭链：B_n ⊆ Z_n。第 n 个同调就是把边缘遗忘掉的商：
H_n(C) = ker d_n / im d_{n+1} = Z_n / B_n
Intuition:
cycles = things that COULD be boundaries
boundaries= things that ALREADY are boundaries
homology = cycles that are NOT boundaries (the leftover)
If H_n = 0 for all n, the complex is EXACT: image = kernel everywhere.
Homology is precisely the obstruction to exactness.一个可以手算的复形
取 R = ℤ。考虑两项复形 0 → ℤ →(×2) ℤ → 0，唯一非平凡的映射是乘以 2，置于第 1 与第 0 度。显然 d² = 0（没有东西可复合）。现在计算。在第 1 度，ker(×2) = 0，又没有进入的映射，所以 H_1 = 0。在第 0 度，闭链是整个 ℤ（外出映射为零），边缘是 im(×2) = 2ℤ。所以 H_0 = ℤ / 2ℤ。
Complex: 0 -> Z --(x2)--> Z -> 0 (degrees 1, 0)
Degree 1: Z_1 = ker(x2) = 0
B_1 = im(of map into degree 1) = 0
H_1 = 0/0 = 0
Degree 0: Z_0 = ker(0 map out) = Z
B_0 = im(x2) = 2Z
H_0 = Z / 2Z = Z/2Z
Reading: the map x2 is injective (H_1=0) but NOT surjective;
H_0 = Z/2Z is exactly the cokernel, the 'how-far-from-onto' group.复形的映射与拟同构
链映射 f: C → D 是一族映射 f_n: C_n → D_n，与边缘映射交换：f_{n-1} ∘ d_n = d_n ∘ f_n。与 d 交换意味着 f 把闭链送到闭链、边缘送到边缘，于是它下降为同调上的同态 H_n(f): H_n(C) → H_n(D)。这正是同调作为函子的含义——这一主题在范畴论的那一轨展开。
当每个 H_n(f) 都是同构时，链映射称为拟同构——尽管两个复形外表毫不相像，它们却有相同的同调。这是同调代数中“相同”的正确概念：我们关心同调，而非复形本身。同一个模的两个天差地别的分解将是拟同构的，这恰恰是我们提取的不变量良定的原因。