把群拆成单群片
合成列是一条链 1 = G₀ ◁ G₁ ◁ ··· ◁ Gₙ = G，其中每个商 Gᵢ₊₁/Gᵢ 都是单群——你无法再细化这条链。Jordan-Hölder 定理说同一有限群的任意两条合成列都有相同的长度，以及相同的单群商重集（合成因子），至多差一个重排与同构。这些因子是群的“素数”：如同整数的素因子分解，它们是不变量，尽管它们本身不能重建 G（不同的群可以共享合成因子）。有限单群分类定理命名了每一个可能的因子。
Two composition series of Z/12Z, same factors (Jordan-Holder).
Series A: 0 ◁ Z/2 ◁ Z/6 ◁ Z/12
factors: (Z/2)/0 = Z/2, (Z/6)/(Z/2) = Z/3, (Z/12)/(Z/6) = Z/2
multiset of factors: { Z/2, Z/2, Z/3 }
Series B: 0 ◁ Z/3 ◁ Z/6 ◁ Z/12
factors: Z/3, Z/2, Z/2
multiset of factors: { Z/2, Z/2, Z/3 }
Same multiset {Z/2, Z/2, Z/3}, just reordered — exactly as Jordan-Holder
predicts. Note 12 = 2 * 2 * 3: the composition factors of a finite
abelian group recover its prime factorization.可解群与幂零群
一个有限群是可解的，恰好当它所有合成因子都是阿贝尔群——等价地，当导出列 G ▷ G′ ▷ G″ ▷ ···（迭代换位子群）到达 1。可解性是根式可解性的群论投影：一个多项式根式可解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群，这正是一般五次方程不可解的原因——S₅ 不可解，因为 A₅（一个阶为 60 的非阿贝尔单群）作为合成因子出现。
幂零群是更强的条件：它的上中心列 1 ◁ Z(G) ◁ Z₂(G) ◁ ··· 一路爬到 G。每个幂零群都可解，反之则不然（S₃ 可解但不幂零）。干净的结构事实是：一个有限群幂零当且仅当它是其 Sylow 子群的直积——所以有限幂零群在精确意义上不过是若干 p-群的捆绑。这正是第二篇与第四篇重新汇合之处。
群表现与有限生成阿贝尔群的结构
如何具体写下一个群？群表现 ⟨ S | R ⟩ 指定生成元 S 与关系 R：它是 S 上的自由群——不施加任何关系的约化词之群——模去包含 R 的最小正规子群。例如 ⟨ r, s | rⁿ = 1, s² = 1, srs = r⁻¹ ⟩ 是阶为 2n 的二面体群。群表现是无限群以及由拓扑定义的群被锁定的方式；它们也是真正不可判定性所栖身之处（字问题可能无解）。
对阿贝尔群，一切都变得可计算。有限生成阿贝尔群的分类说，每个这样的群都同构于 Zʳ ⊕ Z/d₁Z ⊕ ··· ⊕ Z/d_kZ，其中 d₁ | d₂ | ··· | d_k（不变因子型），或等价地同构于 Zʳ ⊕（若干 Z/pⁱZ 之积）（准素型）。自由秩 r 与诸因子 dᵢ 是完全不变量。这是 PID 上模的结构定理的阿贝尔特例：把群表现为一个整数矩阵的余核，再用 Smith 标准型读出 dᵢ。
Classify the abelian group A = <x, y | 6x + 2y = 0, 2x + 4y = 0> (written additively). Relation matrix M (rows = relations, cols = generators x, y): M = [6, 2; 2, 4] Smith normal form via integer row/column operations: [6, 2; 2, 4] swap rows -> [2, 4; 6, 2] R2 <- R2 - 3 R1 -> [2, 4; 0, -10] C2 <- C2 - 2 C1 -> [2, 0; 0, -10] -> diag(2, 10) Invariant factors: d_1 = 2, d_2 = 10, and 2 | 10. Free rank r = (#gens) - (#nonzero d_i) = 0. Therefore A ≅ Z/2Z ⊕ Z/10Z. Primary form: 10 = 2 * 5, so A ≅ Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/5Z. Order of A = 2 * 10 = 20, matching |det M| = |6*4 - 2*2| = 20.