正规子群、商群与同构定理

为什么正规性是正确的条件

G 的子群 N 是正规的，记作 N ◁ G，当 gNg⁻¹ = N 对每个 g 成立——等价地，N 是若干共轭类的并，也等价于左右陪集重合。正规性的要点在于，它恰好是使陪集集合 G/N 继承良定乘法 (aN)(bN) = (ab)N 的条件。没有正规性，这条规则是含糊的；有了它，G/N 成为真正的群，即商群。正规子群恰好是从 G 出发的同态的核，这正是它们重要的原因。（这与理想让你构造商环在群论上完全对应。）

三大同构定理

这些同构定理是本学科的语法。把它们内化到能不假思索地引用。

第一同构定理（同态基本定理）：若 φ: G → H 是同态，则 G / ker φ ≅ im φ。每个商都是一个像，每个像都是一个商——“坍缩”的两幅图景重合。
第二同构定理（钻石定理）：若 H ≤ G 且 N ◁ G，则 HN 是子群，H ∩ N ◁ H，且 H / (H ∩ N) ≅ HN / N。它告诉你一个子群如何看待一个商。
第三同构定理（商的商）：若 N ≤ M 都在 G 中正规，则 (G/N) / (M/N) ≅ G/M。你可以像约去公因子那样约去 N。
附赠（对应定理）：G/N 的子群与包含 N 的 G 的子群之间存在保序双射，且正规对应正规。这正是让你通过在 G 中“向上看”来推理商群的依据。

First isomorphism theorem in action: the sign homomorphism.

sgn : S_n -> {+1, -1},   sigma |-> +1 if even, -1 if odd.
This is a homomorphism onto the 2-element group.

  ker(sgn) = even permutations = A_n   (the alternating group).
  im(sgn)  = {+1, -1} = Z/2Z.

First isomorphism theorem:   S_n / A_n  ≅  Z/2Z.
Hence A_n is normal of index 2, and |A_n| = n!/2.

Another one-liner: the determinant det : GL(2,R) -> R*
is a homomorphism onto the nonzero reals.
  ker(det) = SL(2,R)   ⇒   GL(2,R) / SL(2,R) ≅ R*.

第一同构定理各用一行把 A_n 与 SL 认作核。

换位子群与阿贝尔化

这是最干净的一个应用。换位子群 G′ = [G, G] 由所有换位子 [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ 生成。它是正规的（甚至是特征的），且商 G/G′ 是阿贝尔群。更妙：G′ 是使商阿贝尔的最小正规子群，所以 G/G′——阿贝尔化——是 G 的泛阿贝尔像。从 G 到任何阿贝尔群的同态都唯一地经过 G/G′ 分解。这是你第一次尝到泛性质的味道，而它正是第五篇中可解群机制所迭代的对象。