作为作用的共轭
让 G 通过共轭作用在自身上：g·x = gxg⁻¹。轨道就是共轭类；当一个元素是另一个在某种群对称下的“重新标号”时，二者共轭。在对称群 S_n 中，共轭类恰好就是轮换型——一个极漂亮且具体的例子。在共轭下 x 的稳定子是中心化子 C_G(x) = { g : gx = xg }，即与 x 可交换的元素。由轨道-稳定子定理，x 的共轭类大小为 [G : C_G(x)] = |G| / |C_G(x)|。
什么时候一个共轭类只是一个点？恰好当 gxg⁻¹ = x 对所有 g 成立，即 x 与一切可交换。这些 x 构成中心 Z(G)，它是衡量一个群有多非阿贝尔的核心。一个元素是中心元，当且仅当它的共轭类是单点集。（密切相关的正规化子 N_G(H) 对子群 H 而非元素起同样作用——它是 H 在子集共轭下的稳定子。）
类方程
由于共轭类划分 G，把它们的大小相加得到 |G|。把单点类（中心）从其余部分中分出来，便得到类方程：|G| = |Z(G)| + Σ [G : C_G(x_i)]，其中求和取遍每个非中心共轭类的一个代表 x_i。求和中的每一项都是 |G| 的一个大于 1 的因子。这条小小的记账恒等式威力惊人——它把关于 |G| 的算术约束转化为关于 G 的结构事实。
Class equation of S_4 (|S_4| = 24).
Conjugacy classes = cycle types. Class size = 24 / |centralizer|.
cycle type representative class size
e () 1 <- central
(a b) (1 2) 6
(a b)(c d) (1 2)(3 4) 3
(a b c) (1 2 3) 8
(a b c d) (1 2 3 4) 6
Check: 24 = 1 + 6 + 3 + 8 + 6. (Indeed 1+6+3+8+6 = 24.)
Reading off structure:
- Z(S_4) = {e}, since only the identity class is a singleton.
- The classes of size 1 + 3 = 4 elements that are even and 'square-symmetric'
( e and the three (a b)(c d) ) form the normal subgroup V_4.
- Even permutations: classes 1 + 3 + 8 = 12 elements -> the subgroup A_4.p-群有非平凡中心
p-群是阶为某素数 p 的幂的有限群。这里类方程立刻见效。求和中的每一项 [G : C_G(x_i)] 都是 |G| = pⁿ 的一个大于 1 的因子，因而被 p 整除；|G| 本身也被 p 整除。于是在方程 |Z(G)| = |G| − Σ [G : C_G(x_i)] 中，右端被 p 整除，因此 p 整除 |Z(G)|。由于 Z(G) 含有单位元而非空，故 |Z(G)| ≥ p > 1：每个非平凡的 p-群都有非平凡中心。 这一个事实是我们能对 p-群证明几乎一切的引擎。
把它兑现：任何阶为 p² 的群都是阿贝尔的。若 |G| = p²，则其中心 Z(G) 的阶为 p 或 p²。若 |Z(G)| = p，则 G/Z(G) 的阶为 p，从而是循环群——但有一条标准引理说 G/Z(G) 循环就迫使 G 阿贝尔，与 |Z(G)| = p 矛盾。故 |Z(G)| = p²，即 G = Z(G) 是阿贝尔群。结合你将在第五篇遇到的结构定理，每个阶为 p² 的群都同构于 Z/p²Z 或 Z/pZ × Z/pZ——一个完整的分类，仅由类方程加一条引理得到。