群作用的含义
在第一卷里，群是一个自足的代数对象。群作用把它与外部世界相连：它是一条规则，让群 G 的每个元素去置换集合 X 中的点。形式地说，作用是一个映射 G × X → X，记作 g·x，满足两条公理：单位元平凡地作用，e·x = x；作用与乘法相容，g·(h·x) = (gh)·x。第二条公理正是关键——它说“先做 h 再做 g”等于“做 gh”，于是每个 g 确实像一个对称，而对应 g ↦ (x ↦ g·x) 是从 G 到对称群 Sym(X) 的同态。
任何作用都会自然产生两个结构。点 x 的轨道是你能从它到达的一切：G·x = { g·x : g ∈ G }。轨道构成 X 的一个划分——每个点恰好落在一个轨道里。点 x 的稳定子是固定它的群元素之集：Stab(x) = { g ∈ G : g·x = x }。关键在于，Stab(x) 永远是 G 的子群，因为固定 x 的元素对乘法与求逆封闭。整套理论都依赖于轨道有多大与稳定子有多大之间的张力。
轨道-稳定子定理
下面就是那条挑大梁的定理。轨道-稳定子定理说：对有限群 G 作用在 X 上以及任意点 x，有 |G·x| = [G : Stab(x)] = |G| / |Stab(x)|。轨道的大小等于稳定子的指数。证明是一个双射：把陪集 g·Stab(x) 送到点 g·x。这恰好是良定且单射的，因为 g·x = h·x 当且仅当 h⁻¹g 固定 x，也当且仅当 g 与 h 落在 Stab(x) 的同一个陪集里。于是轨道元素恰好对应于陪集——而数陪集就是拉格朗日定理，你早已知道。
一个立刻的推论：每个轨道的大小都整除 |G|。这一个事实正是你稍后会遇到的类方程与 Sylow 定理的种子。让我们用一个具体的对称群把它做一遍。
Cube rotations acting on faces. G = rotation group of a cube. We do NOT yet know |G|; let's compute it. X = the 6 faces. G acts on X (rotations permute faces). Fix one face, say the TOP face x. - Orbit G·x: a rotation can carry the top face to any of the 6 faces. So |G·x| = 6. - Stabilizer Stab(x): rotations that keep the top face where it is. These are rotations about the vertical axis: 0, 90, 180, 270 degrees. So |Stab(x)| = 4. Orbit-stabilizer: |G| = |G·x| * |Stab(x)| = 6 * 4 = 24. The rotation group of the cube has order 24. (In fact G is isomorphic to S_4, acting on the 4 long diagonals.) We counted the whole group by looking at ONE face and asking two easy questions.
你将永远反复使用的几个标准作用
群作用在自身或自身结构上的三种作用，是后续一切的家常便饭。把它们当作有名字的对象记下来。