在根上的作用
设 f 是 K 上 n 次可分多项式，其根 α_1,…,α_n 在分裂域 L 中。每个 σ ∈ Gal(L/K) 置换这些根，又因 L 由它们生成，σ 被该置换*完全决定*。于是 Gal(L/K) 作为对称群 S_n 的子群嵌入——这就是作为置换群的伽罗瓦群。两个结构事实：作用是忠实的（没有非恒等的 σ 固定所有根），且若 f 不可约则作用是传递的（Gal 能把任一根移到任一根，因为所有根共享一个极小多项式）。
判别式探测 A_n
构造 δ = ∏_{i<j}(α_i − α_j)。一个对换翻转某个因子的符号，故置换按其符号作用于 δ：偶置换固定 δ，奇置换使其变号。因此 Gal ⊆ A_n 恰当 δ 被整个群固定，即当 δ ∈ K。其平方 D = δ² 是判别式，总落在 K 中。于是判据很干净：Gal ⊆ A_n 当且仅当 D 是 K 中的完全平方。
Cubic f(x) = x^3 + px + q (irreducible, separable, char != 2,3).
Discriminant: D = -4p^3 - 27q^2.
Gal is transitive in S_3, so |Gal| is 3 or 6 => Gal = A_3 or S_3.
The discriminant decides which:
D is a square in K <=> Gal = A_3 = Z/3Z (cyclic, order 3)
D is NOT a square <=> Gal = S_3 (order 6)
Examples over Q:
x^3 - 3x + 1: D = -4(-3)^3 - 27(1)^2 = 108 - 27 = 81 = 9^2.
square => Gal = A_3 = Z/3Z. (A 'cyclic cubic'.)
x^3 - x - 1: D = -4(-1)^3 - 27(-1)^2 = 4 - 27 = -23.
not a square => Gal = S_3.
For a quartic one uses the RESOLVENT CUBIC instead:
its splitting behavior over K separates the five transitive
subgroups of S_4 (S_4, A_4, D_4, Z/4Z, V_4).对四次方程，判别式还不够——必须区分 S_4 的五个传递子群。工具是预解三次式，一个辅助的三次式，其根由四次方程的根成对地对称构造而成。它的根在 K 中如何分布（全部、一个、或没有有理根）与判别式判据结合，便锁定你拥有的是 S_4、A_4、D_4、C_4、V_4 中的哪一个。这套预解式方法是低次伽罗瓦群的实用主力。
哪些群会出现？逆问题
整条轨道我们都在从给定扩张计算 Gal(L/K)。把它反过来：给定有限群 G，是否存在 Q 的扩张使 Gal ≅ G？这就是伽罗瓦逆问题，而它一般而言尚未解决——老实说，没人知道是否每个有限群都会出现在 Q 上。已知的部分很可观：每个交换群都出现（切割一个合适的分圆域，用第 4 篇的方法），每个可解群都出现（沙法列维奇），对称群与交错群都出现，且大多数有限单群已被一族一族地实现。
退后一步，一口气看清整条轨道：伽罗瓦扩张把一个扩张打包成一个群作用，对应使域与子群成为同一个格的两种视角，群的可解性恰好就是方程的根式可解性，三类交换家族（分圆、库默尔、有限）是一切都能显式计算之处，而逆问题问的是我们尚不能完全回答的唯一问题——这套构造能产生哪些群。从一个扩张到所有扩张的这道弧线，就是研究生水平的伽罗瓦理论。