分圆：群是 (Z/nZ)^×
设 ζ 为本原 n 次单位根，考虑分圆扩张 Q(ζ)/Q。任何自同构 σ 把 ζ 送到另一个本原 n 次根，故 σ(ζ)=ζ^a，其中 a 与 n 互素。映射 σ ↦ a (mod n) 是到单位群 (Z/nZ)^× 的单同态，且因 n 次分圆多项式 Φ_n 在 Q 上不可约而是满的。于是 Gal(Q(ζ)/Q) ≅ (Z/nZ)^×，是一个 φ(n) 阶的交换群。
n = 7: Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, irreducible.
[Q(zeta_7):Q] = phi(7) = 6.
Gal = (Z/7Z)^x = {1,2,3,4,5,6} under multiplication mod 7.
This group is cyclic of order 6, generated by 3:
3^1=3, 3^2=2, 3^3=6, 3^4=4, 3^5=5, 3^6=1 (mod 7).
Subgroup lattice => intermediate field lattice (FTGT):
unique subgroup of order 2 = {1,6} <-> the unique deg-3 subfield
unique subgroup of order 3 = {1,2,4} <-> the unique deg-2 subfield
The degree-2 subfield is Q(sqrt(-7)) (a Gauss-sum fact).
This is how one PROVES quadratic subfields of cyclotomic fields
exist: read them off the cyclic group (Z/7Z)^x.库默尔：由 n 次根得到的循环扩张
现在固定一个已含 n 次单位根的基域 K（于是我们工作在分圆步骤的“下游”）。添加一个 n 次根：L = K(α)，α^n = a ∈ K。这是一个库默尔扩张，且为次数整除 n 的循环扩张。理由直接：任何 σ ∈ Gal(L/K) 把 α 送到 a 的另一个 n 次根，它必为某个 ζ^k α，ζ 是 K 中的单位根。指派 σ ↦ ζ^{k} 是到 n 次单位根群 μ_n（循环群）的单射，故 Gal(L/K) 循环。
这正是第 3 篇所用的逆命题：当基域有足够多的单位根时，*n 次循环就等同于添加一个 n 次根*。根式塔的每个循环层都是一个库默尔扩张。于是分圆与库默尔合起来恰好制造出根式所能到达的“分段交换”扩张——这就是可解群与根式可解性重合的结构性原因。
有限域：弗罗贝尼乌斯包办一切
有限域给出所有情形中最干净的伽罗瓦理论。对每个素数幂 q=p^n 恰有一个 q 元域 F_q，且 F_{p^n}/F_p 是伽罗瓦的。其群由弗罗贝尼乌斯映射 φ: x ↦ x^p 生成，它固定 F_p（费马：a^p=a）且阶恰为 n。于是有限域的伽罗瓦群是循环的，Gal(F_{p^n}/F_p) ≅ Z/nZ，由 φ 生成。
F_{2^6} / F_2, Frobenius phi(x) = x^2, ord(phi) = 6.
Gal = <phi> = Z/6Z.
FTGT for a cyclic group Z/6Z: subgroups <-> divisors of 6.
subgroup order fixed field degree over F_2
<phi> = whole 6 F_2 1
<phi^2> 3 F_4 = F_{2^2} 2
<phi^3> 2 F_8 = F_{2^3} 3
<phi^6> = {1} 1 F_{2^6} 6
So F_{2^d} sits inside F_{2^6} iff d | 6.
d in {1,2,3,6}: yes. d = 4: NO, since 4 does not divide 6.
The subfield lattice of finite fields is literally the
divisibility lattice of the exponents -- a one-line consequence
of the Galois group being cyclic.