根式塔究竟是什么
“用根式”的公式只用 +、−、×、÷ 与 n 次根。代数地说就是：从 K 出发，你在一座塔 K = F_0 ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ F_m 内到达解，其中每一步添加单个根式，F_{i+1} = F_i(α) 且 α^{n_i} ∈ F_i。一个方程用根式可解，当其分裂域落在这样一座塔内。计划是通过伽罗瓦对应来解读这座塔，看它对群强加了什么。
有一处技术上的“增甜剂”。添加满足 α^n ∈ F_i 的 α 是一个循环扩张，*前提是 F_i 已含有 n 次单位根*。所以先把所有需要的单位根投入基域——这是一步分圆扩张，本身交换因而可解——之后每个根式步骤都有循环伽罗瓦群。我们可以把这座塔安排成在 K 上正规且每层循环。
域之塔 ↔ 子群之链
现在对正规塔 K ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ F_m 应用对应。每个 F_i 对应子群 G_i = Gal(F_m/F_i)，包含关系翻转为链 G = G_0 ⊇ G_1 ⊇ … ⊇ G_m = {1}。因每个 F_{i+1}/F_i 正规且群循环，故每个 G_{i+1} ◁ G_i，商 G_i/G_{i+1} 循环。具有这种链——相继商皆交换——的群按定义就是可解群。这便是定理：用根式可解 ⇒ 伽罗瓦群可解。
一个会崩坏的五次方程
为了击破可解性，我们需要一个伽罗瓦群不可解的五次方程。整个对称群 S_5 即可：它有链 S_5 ⊃ A_5 ⊃ {1}，但 A_5 是非交换的单群——没有更进一步的真正规子群，没有可用的交换商。故 S_5 不可解，任何伽罗瓦群为 S_5 的五次方程都不能用根式求解。我们只需一个落在那里的具体多项式。
Claim: f(x) = x^5 - 6x + 3 over Q has Galois group S_5. Step 1 (irreducible). Eisenstein at p = 3: coeffs of x^4..x^0 are 0, 0, 0, -6, 3; all of -6, 3 divisible by 3, leading coeff 1 not, and 3 not divisible by 3^2 = 9. => f is irreducible over Q, so 5 | |Gal(f)| and the group is transitive. Step 2 (a 5-cycle). Transitive subgroup of S_5 of order divisible by 5 contains an element of order 5 (Cauchy) = a 5-cycle. Step 3 (a transposition). Count real roots via calculus: f'(x) = 5x^4 - 6 has two real critical points, so f has exactly 3 real roots and 1 complex-conjugate pair. Complex conjugation fixes the 3 real roots, swaps the 2 complex roots => it acts as a transposition in Gal(f) <= S_5. Step 4 (generation). A 5-cycle and ANY transposition together generate all of S_5. => Gal(f/Q) = S_5, which is NOT solvable. => x^5 - 6x + 3 = 0 cannot be solved by radicals.