互相抵消的两个映射
固定一个伽罗瓦扩张 L/K，群为 G = Gal(L/K)。有两个自然映射。向上：子群 H ⊆ G 对应其不动域 L^H = { x ∈ L : 对所有 σ ∈ H 有 σx = x }，这是一个中间域 K ⊆ L^H ⊆ L。向下：中间域 F 对应 Gal(L/F)，即逐点固定 F 的自同构，这是 G 的一个子群。基本定理断言这两个映射互为逆的双射。
两个映射都逆转包含关系——更大的子群固定更少的元素，故更大的 H 给出更小的 L^H。这使得该对应成为两个格之间的逆序双射，是一个恰好构成完美对偶的伽罗瓦连接的实例。一个格的底（平凡子群，固定一切：L^{1}=L）对应另一个格的顶，反之亦然。
为何是双射：阿廷
困难的方向是：传到不动域时绝不丢失信息。阿廷定理承担了重活：若 H 是 L 的自同构构成的有限群，则 L 在其不动域 L^H 上是伽罗瓦的，Gal(L/L^H) = H，且关键地 [L : L^H] = |H|。于是子群 H 恰好被重构为 Gal(L/L^H)。反方向，因 L/F 也是伽罗瓦的，故 |Gal(L/F)| = [L:F]，且 L^{Gal(L/F)} = F。两次往返都闭合。
正规对应正规
最后一条款最为漂亮。中间域 F 在 K 上正规恰当其子群 H = Gal(L/F) 是 G 的正规子群，此时限制给出 Gal(F/K) = G/H。‘正规’一词在两种意义上的吻合并非巧合：对每个 σ ∈ G 有 σ(F)=F 是域论的表述，而 σHσ⁻¹ = H 是它在群里的翻译。商群 G/H 正是作为底层那段的伽罗瓦群而诞生的。
L = Q(sqrt 2, sqrt 3), G = Gal(L/Q) = {e, a, b, ab} = Z/2Z x Z/2Z.
a: sqrt2 -> -sqrt2, sqrt3 -> +sqrt3
b: sqrt2 -> +sqrt2, sqrt3 -> -sqrt3
Subgroups of G (all normal, since G is abelian) and their fixed fields:
{e} <-> L = Q(sqrt2, sqrt3) [L:F] = 4
{e, a} <-> Q(sqrt3) fixed by a
{e, b} <-> Q(sqrt2) fixed by b
{e, ab} <-> Q(sqrt6) ab fixes sqrt2*sqrt3
G <-> Q [F:Q] = 1
Check the index/degree mirror for F = Q(sqrt2), H = {e, b}:
[L:F] = |H| = 2 [F:Q] = [G:H] = 4/2 = 2. OK.
Every subgroup is normal in G, so every one of the three
quadratic subfields is normal over Q, with Gal(F/Q) = G/H = Z/2Z.