固定地板的自同构
从具体处入手。给定域扩张 L/K，宽松意义下的伽罗瓦群是 Aut(L/K)，即固定 K 中每个元素的 L 的域自同构构成的群。每个这样的 σ 都置换任何系数在 K 中的多项式的根，因为对 p(α)=0 作用 σ 得到 p(σα)=0。于是自同构不能把根送到非根：伽罗瓦群完全活在根集的对称性之内。这一个观察就是整个学科的引擎。
但 Aut(L/K) 可能小得令人尴尬。取 K=Q，L=Q(∛2)。任何 σ 必须把 ∛2 送到 x³−2 的某个根，而另外两个根是复数，L 却嵌在 R 内。于是 σ 除了把 ∛2 送回自身之外无处可送：尽管 [L:K]=3，Aut(L/K) 仍是平凡群。群之所以太小，是因为 L 不正规——它没有包含它起步用的极小多项式的所有根。
用嵌入来计数
数自同构有一种干净的方法。固定 K 的一个代数闭包，去数 L 到其中的 K-嵌入。对单扩张 K(α) 而言，一个嵌入由它把 α 送到何处决定，而 α 可以送到其极小多项式 m 的任意根。于是嵌入的个数等于 m 的不同根的个数。若 m 次数为 n 且无重根，则恰得 n 个嵌入。
沿塔逐个添加生成元，嵌入个数相乘——它本身沿塔具有乘性，与次数的塔定律相呼应。这个计数称为可分次数 [L:K]_s，它总是不超过 [L:K]。两者恰好相等当且仅当途中每个极小多项式都有不同的根，即当扩张是可分的时。
Count Aut(L/Q) for L = Q(sqrt 2, sqrt 3). Degrees: [L:Q] = [L:Q(sqrt 2)] * [Q(sqrt 2):Q] = 2 * 2 = 4. Embeddings of L into C, by choosing images of the generators: sqrt 2 -> +sqrt 2 or -sqrt 2 (roots of x^2 - 2) sqrt 3 -> +sqrt 3 or -sqrt 3 (roots of x^2 - 3) All 2 * 2 = 4 combinations land inside L itself (L is normal), so every embedding is an automorphism. => |Aut(L/Q)| = 4 = [L:Q]. L/Q is Galois. The four maps, by sign pattern (s2, s3): e = (+, +) identity a = (-, +) flips sqrt 2 b = (+, -) flips sqrt 3 ab = (-, -) flips both Each has order 2, and the group is Z/2Z x Z/2Z (Klein four).
并置的两个条件
正规修补第一种失败：L/K 正规当且仅当 L 是 K 上的分裂域，于是到闭包的每个嵌入像都是 L——每个嵌入*就是*一个自同构。可分修补第二种失败：它迫使 [L:K]_s = [L:K]。两者合起来便有 |Aut(L/K)| = [L:K]_s = [L:K]。这条等式 |Gal(L/K)| = [L:K]，就是我们在本轨道余下部分将依赖的伽罗瓦的可操作定义。