自由群、合并积与树上的作用

自由群与树

我们见过 S 上自由群 F_S（设 S = S⁻¹）的凯莱图是正则树：没有环路，因为没有关系。这并非巧合，而是一种刻画。一个群是自由的当且仅当它在某棵树上自由作用（无非平凡元素固定顶点或翻转边）。从这一条几何事实，便倾泻出本学科最漂亮的结果之一。

粘合群：合并积与 HNN

两种构造通过沿子群粘合来造新群。合并自由积 A ∗_C B 取共享公共子群 C 的 A 与 B，自由地合并它们，只把 C 的两份认同起来。HNN 扩张取一个群 A 与两个同构子群 C₁ ≅ C₂，添加一个稳定字母 t 把一个共轭到另一个：t⁻¹C₁t = C₂。两者都有正规形式定理，让你把元素唯一地写成交替乘积——这是自由群中约化字的类比。

Examples worth memorizing:

  A *_C B with C = 1:  this is just the free product A * B = coproduct in Groups.
      e.g. Z * Z = F_2.

  PSL(2,Z) = Z/2Z *  Z/3Z         (amalgam over the trivial group; acts on the
                                   Farey tree)

  SL(2,Z) = Z/4Z *_{Z/2Z} Z/6Z    (amalgamated over the center {+/-I})

  HNN:  Klein bottle group = < a, t | t a t^-1 = a^-1 >
        Here A = <a> = Z, C1 = C2 = Z, the iso is a |-> a^-1.

  HNN (ascending):  BS(1,2) = < a, t | t a t^-1 = a^2 >   (Baumslag-Solitar)
        C1 = <a> = Z maps onto the index-2 subgroup C2 = <a^2>.

自由积是余积（C 平凡）；HNN 添加一个把一子群共轭到另一子群的字母。

Bass–Serre：从树读出群

这是统一的机器。Bass–Serre 理论说：一个群在树上作用（无翻转）等同于一份群图数据——一张图，每个顶点和边都贴上一个群，并有从边群到顶点群的内射。该群被重构为这张群图的基本群。合并积是单边情形（两个顶点）；HNN 扩张是单环情形（一个顶点，一条回到自身的边）。