把群画出来
固定一个群 G 与生成集 S（设 S = S⁻¹ 以保对称）。凯莱图 Cay(G, S) 对每个元素 g ∈ G 设一个顶点，并对每个 s ∈ S 从 g 到 gs 连一条边。右乘一个生成元就是一步。结果是连通图——之所以连通正因 S 生成——它是本学科最重要的一幅画。群通过左乘作用在自己的凯莱图上，且此作用是图自同构。
Three Cayley graphs to hold in your head:
G = Z, S = {+1, -1} Cay = the infinite line ... -2 -1 0 1 2 ...
G = Z^2, S = {+/-e1, +/-e2} Cay = the infinite square grid
G = Z/6Z, S = {+1, -1} Cay = a hexagon (6-cycle)
G = F_2 = <a,b|> Cay = the infinite 4-valent TREE
(no loops at all -- there are no relations,
so no closed paths except backtracking)
A relator of length n in the presentation = a closed loop of length n in Cay.
No relators <=> no loops <=> a tree.字度量
现在把它做成度量空间。字度量 d_S(g, h) 是凯莱图中从 g 到 h 的最短路径长度——等价地是从 g 到 h 所需相乘的最少生成元个数。字长 |g| = d_S(1, g) 从单位元度量 g。这是真正的度量：满足三角不等式，且关键在于左不变，对一切 x 有 d_S(g, h) = d_S(xg, xh)，因为左乘是一种对称。群从此是一个空间，可以谈球、测地线和距离。
- 选取满足 S = S⁻¹ 的生成集；这使 d 对称。
- 定义 |g| = 满足 g = s₁⋯s_k（各 sᵢ ∈ S）的最小 k；并令 |1| = 0。
- 令 d_S(g, h) = |g⁻¹h|；由 |xy| ≤ |x| + |y| 验证三角不等式。
- 验证左不变性：d_S(xg, xh) = |(xg)⁻¹(xh)| = |g⁻¹h| = d_S(g, h)。