群表示与字问题

什么是群表示

你在第一卷里已把群理解为带运算的集合。几何群论从另一个姿态开始：交给某人一个生成元字母表和一张关系清单，问这些规则强制出什么群。数据 ⟨S | R⟩ 就是一个群表示。形式上它命名商群 F(S)/N，其中 F(S) 是 S 上的自由群，N 是 R 的正规闭包——包含所有关系子的最小正规子群。群里成立的一切，恰好就是你能从关系子推出的一切；别无强加。

Familiar groups as presentations:

  Z/nZ      = < a | a^n >
  Z x Z     = < a, b | a b a^-1 b^-1 >        (one commutator relator => abelian)
  D_n       = < r, s | r^n, s^2, s r s r >     (dihedral, order 2n)
  S_3       = < a, b | a^3, b^2, b a b a >     (same shape, n = 3)
  Z         = < a | >                          (no relators => free of rank 1)
  F_2       = < a, b | >                        (free of rank 2: NO relations)

Reading the Z x Z relator: a b a^-1 b^-1 = 1 says ab = ba.
A relator w means 'the word w equals the identity'.

关系子是被设为 1 的字；关系 r^n 表示 a^n = e。

两个字何时相等

核心难点在此。生成元上的字不过是像 a b a⁻¹ b a 这样的串。两个串代表同一群元素，当且仅当通过插入/删除平凡片段 s s⁻¹ 以及插入/删除关系子，能把一个化为另一个。字问题问：给定字 w，群中是否 w = 1？等价地，给定 w 与 v，是否 w = v？这是一个判定问题，必须认真对待——符号本身并不附赠任何自动程序。

Proving a b = b a in Z x Z = < a, b | aba^-1 b^-1 >:

  start:    a b
  insert the relator (= 1) on the right:
            a b . (b^-1 a^-1 b a)        <- this inserted word is a conjugate of the relator, = 1
            = a (b b^-1) a^-1 b a
            = a a^-1 b a
            = b a                          done.

Every equality in a finitely presented group is, in principle,
such a finite chain of relator-insertions and free cancellations.
The trouble: there is no a-priori bound on how LONG the chain must be.

一次推导是有限的关系子插入与自由消去序列——但其长度不受控。

为什么可能不可判定

诚实而令人清醒的事实：存在一个有限表示群，其字问题在算法上不可解（Novikov 1955，Boone 1958）。没有任何程序能对该群中的字总是正确判定它是否等于 1。这不是我们不够聪明留下的缺口，而是一条定理，靠把图灵机编码进群关系来构造。所以几何纲领不是奢侈品——对一般群而言根本没有符号捷径，唯一的抓手就是*形状*。