根的对称性：自同构与伽罗瓦群

自同构：域的对称

域 K 的自同构是对其元素的重新标记，且保持一切算术：σ(a + b) = σ(a) + σ(b)，σ(ab) = σ(a)σ(b)。对扩张 K/F 我们再加一条——σ 必须 固定基域 F 的每个元素，让有理数原封不动。

经典例子：复共轭。映射 a + bi ↦ a − bi 是 C 的一个自同构，固定每个实数。它正是一种共轭对称——并交换 x² + 1 的两个根 i 与 −i。

伽罗瓦群

把固定 F 的 K 的每个自同构都收集起来。它们在复合下构成一个群——称为伽罗瓦群 Gal(K/F)。单位元是什么也不做的映射，重新标记的逆元把它撤销，而两个对称的复合仍是对称。你学过的关于群的一切现在都适用了。

由于每个 σ 只是把根洗牌，伽罗瓦群就作为根上的置换群——是 n 个根上完整对称群的一个子群。它常常是真子群而非全体，因为根之间可能藏有对称必须遵守的关系。

亲手算一个

Gal(Q(√2, √3) / Q):

Roots to shuffle:  √2 → ±√2,  √3 → ±√3 (independently)
Each automorphism is determined by these two sign choices:

  e   :  √2 → √2,   √3 → √3      (identity)
  σ   :  √2 → −√2,  √3 → √3
  τ   :  √2 → √2,   √3 → −√3
  στ  :  √2 → −√2,  √3 → −√3

4 elements, every one its own inverse  ⇒  the Klein four-group.
Note |Gal| = 4 = [Q(√2,√3) : Q].  The order MATCHES the degree.

四种变号，四个对称——而群的阶恰等于扩张的次数。

最后那行——|Gal(K/F)| 等于次数 [K : F]——绝非偶然。当 K 是一个 “好的” 扩张（可分多项式的分裂域）时它恰好成立。当大小这样相符时，扩张就称为 伽罗瓦的，而我们也就准备好迎接把两个世界系在一起的定理了。