极小多项式：一个数的指纹
在 F 上代数的数 α 可能满足许多多项式。其中有唯一一个 “最好” 的：以 α 为 根、次数最低的首一多项式。它就是 α 在 F 上的 极小多项式。
两个事实使它特别。第一，它不可约——是 F 上的 素多项式，不能分解为更低次的因式。第二，它整除 α 所满足的每个多项式。所以它确实是 α 遵从的最简单方程。
Minimal polynomial of α = √2 + √3 over Q: α = √2 + √3 α^2 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 α^2 − 5 = 2√6 (α^2 − 5)^2 = 24 α^4 − 10α^2 + 25 = 24 α^4 − 10α^2 + 1 = 0 Minimal polynomial: x^4 − 10x^2 + 1 (degree 4) So [Q(√2 + √3) : Q] = 4.
为何次数就是维数
若 α 的极小多项式次数为 n，则 F(α) 有 基 {1, α, α², …, αⁿ⁻¹}，且 [F(α) : F] = n。原因在于：α 的任何更高次幂都能用极小多项式改写，正如 α² = 2 让我们把 Q(√2) 里的一切都收拢起来。
分裂域：让所有根都安家
像 x² − 2 这样的多项式在 Q 中无根，但在 Q(√2) 内它分解为 (x − √2)(x + √2)——它 分裂 成一次因式。使给定多项式完全分解为一次因式的、F 的最小扩张，就是它的 分裂域。
有时你必须添加不止一个根，甚至非实数。x³ − 2 在 Q 上的分裂域需要实立方根 ∛2 和一个 复 单位立方根 ω；它是 Q(∛2, ω)，次数为 6。分裂域正是伽罗瓦理论安身的自然居所——所有根齐备，没有多余。