从一个域到更大的域
域 是一种数系，你可以在其中做加、减、乘、除（除数不为 0），而且通常的运算律都成立。有理数 Q 构成一个域；实数 R 也是。域扩张 不过是一个包含较小域 F 作为子系统的域 K。我们记作 K/F（读作 “K 在 F 之上”），F 称为 基域。
最小的有趣例子：从 Q 出发，加进 √2。为了在 +、−、×、÷ 下封闭，你不得不把所有形如 a + b√2（a、b 为有理数）的数都包含进来。这个集合记作 Q(√2)，它确实是一个域——你甚至能做除法。
Dividing inside Q(√2) — rationalize the denominator: 1 / (1 + √2) = (1 − √2) / ((1 + √2)(1 − √2)) multiply by the conjugate = (1 − √2) / (1 − 2) = (1 − √2) / (−1) = −1 + √2 Result is again of the form a + b√2 (a = −1, b = 1). Closed!
扩张就是一个向量空间
这里有一个关键的视角转换。把大域 K 看作 在小域 F 上的向量空间：向量是 K 的元素，标量取自 F。在 Q(√2) 中，每个元素 a + b√2 都是两个 “向量” 1 和 √2 的 F-线性组合。所以 {1, √2} 是一组基，维数 是 2。
这个维数有个名字：扩张的 次数，记作 [K : F]。于是 [Q(√2) : Q] = 2。次数是一个数，刻画了扩张 “大了多少”——而它最终会成为整套理论中最深刻的量尺。
代数的与超越的
为什么 Q(√2) 只是 2 维而非无穷维？因为 √2 满足一个系数为有理数的 多项式 方程：x² − 2 = 0。凡是某个这种多项式的根的数，就称为在 F 上 代数的。添加一个代数数，总能得到有限次扩张。
有些数根本不是任何有理多项式的根——这些是 超越数，比如 π 和 e。添加这样一个数会得到无穷维扩张。在伽罗瓦理论中，我们几乎完全停留在友好、有限、代数的世界里。