变换：平移、伸缩与反射

平移：整体滑动图像

从一个母函数出发，比如 f(x) = x^2，它的图像是顶点在原点的抛物线，顶点在原点。竖直平移在函数*外部*加一个数：f(x) + k 把图像向上平移 k（k 为负则向下）。水平平移在*内部*加：f(x − h) 把图像向右平移 h——注意这个看起来反着来的符号。

Parent: f(x) = x^2 (vertex at (0,0))

f(x) + 4   = x^2 + 4        -> up 4         vertex (0, 4)
f(x) - 4   = x^2 - 4        -> down 4       vertex (0, -4)
f(x - 3)   = (x - 3)^2      -> right 3      vertex (3, 0)
f(x + 3)   = (x + 3)^2      -> left 3       vertex (-3, 0)
f(x-3) + 4 = (x-3)^2 + 4    -> right 3, up 4   vertex (3, 4)

在函数外部使其竖直移动；在内部使其水平移动，且符号相反。

伸缩与反射

在*外部*相乘，a·f(x)，使图像沿竖直方向缩放：a = 3 把它拉得更高，a = 1/2 把它压得更扁。负的乘数给出反射：−f(x) 把图像沿 x 轴上下翻转，而 f(−x) 把它沿 y 轴左右翻转。（对偶函数而言，这种左右翻转毫无变化。）

Parent: f(x) = x^2

3 f(x)  = 3x^2      -> vertical stretch (3x taller, narrower)
(1/2)f(x)= (1/2)x^2  -> vertical shrink (flatter, wider)
-f(x)   = -x^2      -> reflect across x-axis (opens downward)
f(-x)   = (-x)^2 = x^2  -> reflect across y-axis: unchanged (even!)

乘数决定陡峭程度；负号使图像翻越某条坐标轴。

组合变换并读懂顶点式

实际问题会叠加多种变换。稳妥的顺序是：先处理*内部*（水平平移与反射），再做*外部*伸缩，最后做*外部*平移。二次函数的顶点式 g(x) = a(x − h)^2 + k 把这一切打包：它就是母函数 x^2 被纵向伸缩 a 倍、向右平移 h、向上平移 k，其顶点在 (h, k)，对称轴为 x = h。

把 g(x) = −2(x − 1)^2 + 5 对照模板 a(x − h)^2 + k 来读：这里 a = −2，h = 1，k = 5。
从 x^2 开始；向右平移 1（内部的 x − 1）。
纵向伸缩 2 倍并沿 x 轴反射（即 −2）：抛物线开口向下且更陡。
向上平移 5（即 + 5）。最终顶点：(1, 5)，对称轴 x = 1，开口向下。