分段函数、偶函数与奇函数

一个函数，几条规则

分段函数在其定义域的不同部分使用不同的公式。想象一个话费套餐：100 分钟以内免费，超过后按分钟计费。定义中的每一行都带着一个条件，告诉你它管辖哪些输入，而且这些条件不能重叠。

          | x + 1,    if x < 0
f(x) =    | x^2,      if 0 <= x <= 2
          | 5,        if x > 2

f(-3) : -3 < 0,        use x + 1  -> -3 + 1 = -2
f(0)  : 0 in [0, 2],   use x^2    -> 0^2    = 0
f(2)  : 2 in [0, 2],   use x^2    -> 2^2    = 4
f(7)  : 7 > 2,         use 5      -> 5

偶函数：关于 y 轴对称

当对每个 x 都有 f(−x) = f(x) 时，函数是偶函数。代入相反的输入得到相同的输出，所以图像关于 y 轴镜像对称。典范是 f(x) = x^2；像 x^4、x^6 这样的幂以及余弦函数都是偶函数。

f(x) = x^2 - 4
  f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)   ->  EVEN

g(x) = x^4 + 3x^2 + 1
  g(-x) = x^4 + 3x^2 + 1 = g(x)          ->  EVEN

奇函数，以及一锤定音的检验

当 f(−x) = −f(x) 时，函数是奇函数：相反的输入给出相反的输出。其图像关于原点呈旋转对称——旋转 180° 后与自身重合。典范是 f(x) = x^3；奇次幂以及正弦函数都是奇函数。大多数函数两者都不是，而这是一个完全合理的答案。

1. 把每个 x 换成 −x 来计算 f(−x)，然后化简。
2. 若 f(−x) = f(x)，则为偶。若 f(−x) = −f(x)，则为奇。
3. 若两者都不是，就直说。例：f(x) = x^3 + 1 得 f(−x) = −x^3 + 1，它既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)——两者都不是。