函数记号、定义域与值域

读懂 f(x)

函数记号把函数 f 在输入 x 处的输出写作 f(x)，读作“f of x”或“f 在 x 处的值”。它不是乘法——f(x) 不表示 f 乘以 x。名字 f 标记的是规则；括号里放的是你交给它的输入。所以若 f(x) = 3x − 1，则 f(2) 表示“对 2 执行这条规则”：把每个 x 都换成 2。

f(x) = 3x - 1

f(2)  = 3(2) - 1   = 6 - 1   = 5
f(-4) = 3(-4) - 1  = -12 - 1 = -13
f(0)  = 3(0) - 1   = 0 - 1   = -1
f(a+1)= 3(a+1) - 1 = 3a + 3 - 1 = 3a + 2

定义域：哪些输入被允许

定义域是规则能够合法接受的所有输入构成的集合。对于像 3x − 1 这样的普通多项式，每个实数都行，所以定义域是全体实数。麻烦只在两个常见地方出现：你不能除以零，也不能对负数取偶次方根。

1. 对 g(x) = 1/(x − 5)，令分母为零：x − 5 = 0 得 x = 5。这是一个排除值，所以定义域是除 5 以外的全体实数。
2. 对 h(x) = sqrt(x − 2)，要求被开方数 ≥ 0：x − 2 ≥ 0 得 x ≥ 2。定义域是 x ≥ 2。
3. 尽量用区间记号写出答案：x ≥ 2 记作 [2, ∞)。

值域：哪些输出会出现

值域是当 x 取遍整个定义域时，函数实际产生的输出构成的集合。它通常比定义域更难求，因为你得思考哪些 y 值是可达的。一个好的起手式是问：哪些值是*不可能*出现的。

f(x) = x^2
  x^2 is never negative, and every value >= 0 is hit.
  Domain: all reals.   Range: y >= 0,  i.e. [0, infinity).

f(x) = sqrt(x - 2)
  Domain: x >= 2.
  A square root is never negative -> Range: y >= 0, i.e. [0, infinity).