什么是函数：输入、输出与规则

机器的图像

函数是一条规则：它接收一个输入，对它做点什么，然后返回恰好一个输出。想象一台自动售货机：按 B4 总是得到同一种零食。你按的按钮是输入，零食是输出，机器内部的线路就是规则。关键就在“恰好一个”这几个字——同一个输入绝不会返回两个不同的答案。

输入是自变量（通常记作 x），输出是因变量（通常记作 y），因为它的值*取决于*你输入了什么。函数把每个 x 与一个 y 配对，所以它本质上是一组整齐的有序对 (x, y)。

是函数，还是只是关系？

任意一组有序对都是一个关系。函数是其中特别规矩的一类关系：没有任何输入被重复使用却给出不同的输出。比较下面两张表：第一张把输入 2 配上了两个不同的输出，所以它违反了规则。

Relation A (NOT a function):
  x:  1   2   2   3
  y:  5   8   9   7
  -> input 2 has TWO outputs (8 and 9). Fails.

Relation B (a function):
  x:  1   2   3   4
  y:  5   8   8   7
  -> every input has ONE output. (8 repeating is fine.) Passes.

输入只能出现一次；输出可以自由重复。

垂直线检验法

当关系画在坐标平面上时，有一个一眼可辨的判别法。一个图像表示函数，当且仅当没有任何竖直线与它相交超过一次。这就是垂直线检验法。一条竖直线对应一个固定的 x；如果它两次穿过曲线，那么这一个 x 就有了两个 y 值——而函数不允许这样。

直线 y = 2x + 1：任何竖直线都只与它相交一次。是函数。
圆 x^2 + y^2 = 25：穿过中间的竖直线与它相交两次。不是函数。
横放的抛物线 x = y^2：同样地，一个 x 对应两个 y 值。不是函数。