代入与公式的力量

把数放进字母的位置

代入意味着用选定的数替换字母，然后计算。若表达式为 2x + 1，而我们决定 x = 5，便写 2·(5) + 1，并按运算顺序得到 11。这个动作——代入求值——正是一般表达式给出具体值的方式。给数加上括号是个好习惯，能防止符号和分组的错误。

Expression:  x² − 3x + 4

Evaluate at x = 2:
  (2)² − 3·(2) + 4
   = 4   − 6      + 4
   = 2

Evaluate at x = −1:
  (−1)² − 3·(−1) + 4
   = 1   + 3       + 4
   = 8

Same formula, two inputs, two answers — no new work
beyond plugging in and following PEMDAS.

一个表达式，通过代入在两个值处求值。

为何一个公式能服务无穷情形

公式是一个用一般术语陈述某种关系的方程，随时可经代入而特殊化。圆的面积 A = πr² 只是一行；然而代入 r = 1、r = 3、r = 100，它就能回答一切存在的圆。这就是一般化化作工具：你用符号把那个*关系*求解一次，此后每个现实情形都只差一次代入。

Formula:  A = π r²   (one statement)

  r = 1   →  A = π·1²   = π      ≈ 3.14
  r = 3   →  A = π·3²   = 9π     ≈ 28.27
  r = 10  →  A = π·10²  = 100π   ≈ 314.16

Three circles, three answers, ZERO new derivations.
We proved the relation once; substitution did the rest.

单个公式能回答你所能代入的任意多种情形。

代入也在公式*之间*运行。若一个公式给出你在别处需要的值，你可以把整个表达式代进去——这正是后来驱动方程组代入法的同一思想，也让你能做公式变形以解出另一个字母。用某符号所等于的东西去替换它，这一朴素动作是整个数学中最常被重用的招数之一。