几何变为次数
从两个点出发，称它们的距离为 1，把它们放在平面上的 0 与 1 处。一个点是可作的，如果你能用有限步仅有的两种合法操作到达它：过两个已知点画一条直线，以一个已知点为圆心过另一点画一个圆。每个新点都是这样两条线/圆的交点——而求解线-线、线-圆、圆-圆交点只涉及域运算，至多一个 平方根。
把它翻译成代数。可作数构成一个域（对 +、−、×、÷ 封闭），并且关键地对正元素开平方封闭。每个作图步骤至多添加一个平方根，故一个 可作数 α 位于一座塔 ℚ = K₀ ⊆ K₁ ⊆ … ⊆ K_n ∋ α 的顶端，其中每个 [K_{i+1} : K_i] = 1 或 2。
三个不可能
现在著名的问题排成一列倒下。倍立方：为体积两倍的立方体造一条棱，意味着作出 α = 2^(1/3)。它的极小多项式是 x³ − 2（在 2 处艾森斯坦），故 [ℚ(2^(1/3)):ℚ] = 3。3 不是 2 的幂——不可能。三等分一般角：60° 角可作，但三等分它需要 cos 20°，它满足不可约的 8x³ − 6x − 1，又给出 3 次——不可能。
Trisecting 60 degrees is impossible. Triple-angle identity: cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t). Put 3t = 60, so cos(3t) = 1/2, and let c = cos(20): 1/2 = 4 c^3 - 3 c 8 c^3 - 6 c - 1 = 0. Let f(x) = 8x^3 - 6x - 1. Test for rational roots p/q with p | 1, q | 8: candidates +-1, +-1/2, +-1/4, +-1/8 -> none give 0 (check x=1/2: 1 - 3 - 1 = -3, etc.) A cubic with no rational root is irreducible over Q, so [Q(c):Q] = 3. 3 is NOT a power of 2 => cos(20) is not constructible => 60 deg cannot be trisected. (Same template kills doubling the cube: x^3 - 2 irreducible, degree 3.)
化圆为方：与单位圆同面积的正方形需要一条边长 √π。但 π 是超越的（林德曼，1882），故 √π 也是——它*根本不满足* ℚ 上任何多项式，更不用说 2 的幂次的了。这是三者中最深的：它不依赖次数计算，而依赖超越性，一个远在我们工具箱之外的结果，坦诚如此。
以及一件它能做的事
次数判据是必要的，但单凭它并不充分——不过对正 n 边形，完整的故事很美，并且这是高斯登场之处。正 17 边形*是*可作的：cos(2π/17) 居于 分圆扩张 ℚ(ζ₁₇) 中，其 伽罗瓦 次数为 φ(17) = 16 = 2⁴，一座二次塔。完整定理（高斯–万策尔）：正 n 边形可作当且仅当 n 是 2 的幂乘以若干互异的费马素数。少年高斯作出 17 边形，正是域论与几何握手的历史时刻。