不重复的根
一个多项式是可分的，当它在分裂域上没有重根。检测器是形式导数：f 有重根当且仅当 gcd(f, f′) ≠ 1。对*不可约*的 f，这只有在 f′ 恒等于 0 时才可能失败——而在特征 0 的域上，非常数的 f 不可能如此，故特征 0 中每个不可约多项式都是 可分的，每个代数扩张都是 可分的。麻烦只存在于特征 p。
在特征 p 中，f′ = 0 恰好发生在 f 是 xᵖ 的多项式时。标准的警示故事是 𝔽_p(t) 中的 t：在域 K = 𝔽_p(tᵖ) 上，多项式 xᵖ − tᵖ = (x − t)ᵖ 以 t 为 p 重根，故 K(t)/K 是 不可分的。这种情况*不可能*发生的域——其中每个不可约多项式都可分——称为 完全域；它们包括全部特征 0 的域和全部有限域。
有限域的完全分类
这是代数中最干净的分类定理之一。一个 有限域 恰有 q = pⁿ 个元素，p 为素数、n ≥ 1 为整数；并且对每个这样的 q，在同构意义下有且只有一个那么大的域，记作 𝔽_q。它是 x^q − x 在 𝔽_p 上的分裂域——恰好是该多项式的 q 个根。而 𝔽_{p^m} ⊆ 𝔽_{p^n} 当且仅当 m 整除 n。整个子域格不过就是 n 的因子格。
两颗结构宝石。其一，乘法群 𝔽_q^× 是阶为 q − 1 的 循环群——它的生成元称为有限域的本原元素。其二，𝔽_q/𝔽_p 是一个 伽罗瓦扩张，其 伽罗瓦群 是阶为 n 的循环群，由弗罗贝尼乌斯 x ↦ xᵖ 生成。有限域的伽罗瓦群是伽罗瓦群中最简单的一类：永远是循环的。
Build F_8 = F_2[x]/(x^3 + x + 1).
x^3 + x + 1 is irreducible over F_2 (no root: f(0)=1, f(1)=1). Let a = class of x.
Elements: all c0 + c1*a + c2*a^2 with ci in {0,1} -> 2^3 = 8 elements.
Rule for reducing: a^3 = a + 1 (since a^3 + a + 1 = 0, and -1 = 1 in F_2).
Powers of a (check it generates F_8^*, a cyclic group of order 7):
a^1 = a
a^2 = a^2
a^3 = a + 1
a^4 = a*a^3 = a^2 + a
a^5 = a*a^4 = a^3 + a^2 = a^2 + a + 1
a^6 = a*a^5 = a^3 + a^2 + a = a^2 + 1
a^7 = a*a^6 = a^3 + a = (a+1) + a = 1 <-- order exactly 7, so a is primitive.
Galois group of F_8/F_2 = <Frobenius>, Frob(y) = y^2, cyclic of order 3.
The 3 roots of x^3+x+1 are a, a^2, a^4 (= Frob orbit of a).一个元素统御全部
可分性的回报是本原元素定理：每个*有限可分*扩张都是单扩张，L = K(γ) 仅由单个 γ 生成。所以在特征 0 中，任何有限扩张——无论你起初用了多少个生成元——都由一个元素生成。我们在第 2 篇里具体见过：ℚ(√2, √3) = ℚ(√2 + √3)。本原元素定理 使第 2 篇的极小多项式机器适用于*所有*有限可分扩张，而不只是那些显然单的。