为每个根腾出空间
给定多项式 f ∈ K[x]，它的分裂域是 f 完全分解为线性因子的最小扩张 L/K——并且由这些根生成。你通过反复添加根来构造它：找一个不可约因子，经由 K[x]/(那个因子) 添加一个根，再在新域上重复，直到 f 分裂。分裂域 对任何 f 都存在，且它在 K 上的次数整除 (deg f)!。
Splitting field of f(x) = x^3 - 2 over Q. Roots: a = 2^(1/3), a*w, a*w^2 where w = e^(2*pi*i/3) is a primitive cube root of 1. Step 1: adjoin a. [Q(a):Q] = 3 (x^3-2 is Eisenstein at p=2, so irreducible). But Q(a) is REAL, it cannot contain the complex roots a*w, a*w^2. Step 2: adjoin w (root of x^2 + x + 1). [Q(a,w):Q(a)] = 2. Tower law: [Q(a,w):Q] = 3 * 2 = 6. So the splitting field has degree 6, not 3 — splitting needs the roots of unity, not just one real cube root. (Its Galois group is S_3.)
唯一性与正规性
分裂域在 K-同构意义下唯一——同一个 f 的任意两个分裂域之间存在一个固定 K 的同构。证明是整个学科的核心技术引理：基域之间的一个同构可以逐根地延拓为分裂域之间的同构，因为每个根的 极小多项式 被送到另一边的一个不可约因子。这个 嵌入延拓 论证值得掌握；它驱动伽罗瓦理论中的一切。
一个有限扩张 L/K 是正规的，当它以全有或全无的方式捕获根：若 K[x] 中一个不可约多项式在 L 中有*一个*根，它就在 L 中有它*全部*的根。干净的定理：对有限扩张，正规 ⟺ L 是某个 K 上多项式的分裂域。正规性是“没有被捉到一半的根”这一条件；你在第一卷里已瞥见它，是使伽罗瓦理论运转的一部分。
闭合的宇宙
把分裂推到极限，你就得到一个代数闭域：其中*每个*非常数多项式都已分解为线性片段。ℂ 是著名的例子——这正是 代数基本定理。K 的一个 代数闭包 K̄ 是 K 的一个代数扩张，且它自身代数闭；它是 K 上*所有*多项式的共同分裂域。
携带两个事实：每个域都有代数闭包，且它在（非典范的）同构意义下唯一。存在性证明需要佐恩引理——要诚实地承认这确实是非构造性的——但一旦有了 K̄，K 的每个代数扩张都嵌入其中。这就是为什么人们说“固定一个 代数闭包”并在其中工作：它是所有根栖居、所有 嵌入 落脚的环境房间。