定义 α 的多项式
固定 α 在 K 上代数。在 K[x] 中所有在 α 处取零的非零多项式里，存在唯一一个次数最小的首一多项式。这就是 极小多项式 m_α(x)。这里的结构是一个 求值同态：映射 K[x] → K(α) 把 x ↦ α，它有一个核；又因为 K[x] 是主理想整环，那个核是单个主理想 (m_α)。三条性质把它钉死，你应该能背出来。
- m_α 在 K 上不可约。（若它可分解，某个因子已在 α 处为零，与极小性矛盾。）
- m_α 整除 K[x] 中每一个在 α 处为零的多项式。（它生成整个核。）
- deg m_α = [K(α):K]。多项式的次数等于扩张的次数。
实践中如何找它
造一个杀死 α 的多项式很容易；证明它是极小的就意味着证明不可约性。你从第一卷带来的工具箱正是要伸手去拿的：艾森斯坦判别法、模 p 约化、有理根检验、以及数次数。域上 2 次或 3 次多项式不可约当且仅当它在该域中无根——但到 4 次及以上这条捷径失效，因为一个四次式可能分解成两个无根的不可约二次式。
Find the minimal polynomial of a = 2^(1/2) + 3^(1/2) over Q. Let a = 2^(1/2) + 3^(1/2). a^2 = 2 + 2*6^(1/2) + 3 = 5 + 2*6^(1/2) a^2 - 5 = 2*6^(1/2) (a^2 - 5)^2 = 4 * 6 = 24 a^4 - 10a^2 + 25 = 24 a^4 - 10a^2 + 1 = 0 Candidate: f(x) = x^4 - 10x^2 + 1. Irreducible over Q? Rational Root Test: possible roots +-1, neither works -> no linear factors. No factorization into two rational quadratics x^2+bx+c, x^2-bx+d works out (matching coefficients forces b,c,d off the rationals). So f is irreducible. Therefore m_a(x) = x^4 - 10x^2 + 1 and [Q(a):Q] = 4. Note: Q(a) = Q(2^(1/2), 3^(1/2)), the degree-4 field from Guide 1 — a single element a generates it. (That is the primitive element phenomenon, Guide 4.)
在 K(α) 内部计算
一旦你知道 m_α 的次数是 n，K(α) 的每个元素都唯一地写成 c₀ + c₁α + … + c_{n-1}α^{n-1}，其中 cᵢ ∈ K——幂 1, α, …, α^{n-1} 构成一组基。乘法就是多项式相乘再对 m_α 取模。求逆看着吓人，其实是机械的：对这些 多项式 跑 扩展欧几里得算法。
Invert (1 + a) in K = Q[a]/(a^3 - 2), where a = 2^(1/3). We want u(x) with (1 + x) u(x) = 1 mod (x^3 - 2). Extended Euclid on x^3 - 2 and x + 1: x^3 - 2 = (x + 1)(x^2 - x + 1) - 3 => 3 = (x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^3 - 2) => 1 = (x + 1) * [ (x^2 - x + 1)/3 ] - (x^3 - 2)/3 Reduce mod (x^3 - 2): (1 + a)^(-1) = (a^2 - a + 1)/3. Check: (1 + a)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1 = 2 + 1 = 3. Divide by 3 -> 1. Correct.