扩张、次数与塔法则

域之上的域

你在第一卷里见过 域扩张，只是顺带一提：ℚ 落在 ℝ 中，ℝ 又落在 ℂ 中。现在我们让它们成为主角。一个域扩张 L/K 不过是一个域 L 连同它的一个子域 K。斜线读作“L 在 K 之上”。整个学科里最关键的一个想法是：因为 K 是域而 L 是 K-向量空间（L 的元素可以相加，也可以乘以来自 K 的标量），扩张自动就是一个 向量空间。于是我们可以问它的维数。

这个维数就是扩张的次数，记作 [L:K]。当它有限时，我们称 L/K 为有限扩张。最小的非平凡例子：ℂ = ℝ(i) 在 ℝ 上以 {1, i} 为基，故 [[degree-of-an-extension|[ℂ:ℝ] = 2]]。同样地 ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ} 以 {1, √2} 为基，次数为 2。次数衡量 L 在 K 之上添加了多少个“独立方向”。

添加一个元素

给定某个更大域中的 α，K(α) 是包含 K 与 α 的最小域——一个 单扩张。α 恰好只有两种可能。若 α 不满足 K 上任何非零多项式，它就是超越的，此时 K(α) 是有理函数域 K(x) 的副本，无限维。若 α 满足某个多项式，它就是代数的，此时 K(α) 在 K 上有限。本轨道几乎所有内容都在代数情形里。

一个 代数扩张 指的是其中*每个*元素都在 K 上代数。一个你应立即内化的干净事实：每个有限扩张都是代数的。理由很短——若 [L:K] = n，则对任意 α，这 n+1 个幂 1, α, α², …, αⁿ 在 K 上不可能线性无关，故它们的某个 K-线性组合为零，这就是一个多项式关系。逆命题不成立：代数扩张可以是无限的，例如 ℚ 上所有代数数构成的域。

次数相乘

本学科的主力定理是塔法则：若 K ⊆ M ⊆ L 是一座域塔，则 [[tower-law|[L:K] = [L:M]·[M:K]]]。次数是可乘的。证明纯属线性代数：取 M 在 K 上的基 {mᵢ} 与 L 在 M 上的基 {lⱼ}；则乘积 {mᵢ lⱼ} 构成 L 在 K 上的基。数一数：（mᵢ 的个数）·（lⱼ 的个数）。就这样。

Compute [Q(2^(1/2), 3^(1/2)) : Q].

Tower:  Q  <  Q(2^(1/2))  <  Q(2^(1/2), 3^(1/2)) = L

Step 1:  [Q(2^(1/2)) : Q] = 2    (basis {1, 2^(1/2)}; x^2 - 2 is the relation)

Step 2:  [L : Q(2^(1/2))] = ?
  Is 3^(1/2) already in Q(2^(1/2))?  Suppose 3^(1/2) = a + b*2^(1/2),  a,b in Q.
  Square:  3 = a^2 + 2b^2 + 2ab*2^(1/2).
  Since 2^(1/2) is irrational, need ab = 0.
    b = 0 => 3 = a^2, no rational a.
    a = 0 => 3 = 2b^2, no rational b.
  Contradiction, so 3^(1/2) is NOT in Q(2^(1/2)), and x^2 - 3 stays irreducible there.
  Hence [L : Q(2^(1/2))] = 2.

Tower law:  [L : Q] = 2 * 2 = 4.
A Q-basis of L:  {1, 2^(1/2), 3^(1/2), 6^(1/2)}.