完全分解、不可约多项式与求根

一套分解策略,以及什么才算做完

先 GCF——总是先提出各项的最大公因式。
数项数:两项→试平方差或立方和/立方差;三项→三项式或完全平方;四项→分组。
对每个部分再次分解,直到无法继续拆分。
把所有因式乘回去检验。

当没有因式能在你被允许使用的数域内继续拆分时,答案就是[[completely-factored|完全分解]]的。一个根本无法分解(除了平凡的 1 乘它本身)的多项式,就是[[prime-polynomial|不可约多项式]]——质数在代数里的“表亲”。例如:x^2 + 1 与 x^2 + x + 1 在实数范围内都是不可约的。

零积性质

这就是因式分解一直在铺垫的回报。[[zero-product-property|零积性质]]说:若乘积等于零,则至少有一个因式为零。这只对零成立——知道乘积等于 12 并不能告诉你各因式分别是多少。所以要解一个方程,就把所有项移到一边使其等于 0,分解,再令每个因式等于 0。每个因式给你一个根。

Solve x^2 + 7x + 12 = 0      (already equals 0)

Factor:        (x + 3)(x + 4) = 0
Zero-product:  x + 3 = 0   or   x + 4 = 0
Roots:         x = -3       or   x = -4

Watch out — set the equation to 0 FIRST:
Solve x^2 = 5x + 6
  x^2 - 5x - 6 = 0
  (x - 6)(x + 1) = 0
  x = 6  or  x = -1   (NOT from x^2 = 5x+6 directly)

[[factoring-to-solve|因式分解解方程]]:先令其为 0,分解,再令每个因式 = 0。

重根与一次合理性检查

当某个因式重复出现时,你会得到一个[[double-root|重根]]——同一个根被算了两次。由 (x - 5)^2 = 0 知唯一解是 x = 5,但它是一个重根。因式个数(把重复计入)总等于方程的次数,这悄悄保证了你已经把根找全。