平方差
这些形式是特殊乘积反过来读。最干净的是[[difference-of-two-squares|平方差]]:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。两个完全平方数中间夹一个减号,立刻就能拆开。注意:两个平方数之*和* a^2 + b^2 在实数范围内不能分解——它是不可约多项式。
9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x + 5)(3x - 5)
Apply it twice when squares hide inside squares:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2
= (x^2 + 4)(x^2 - 4)
= (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)
(x^2 + 4 is a sum of squares -> stops here)完全平方三项式
[[perfect-square-trinomial|完全平方三项式]]是二项式平方展开后的样子:a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2。识别信号:首项和末项都是完全平方,且中间项恰好是它们平方根乘积的两倍。你当然可以用 AC 法硬算,但认出形式更快、也更不易出错。
Recognize x^2 + 12x + 36 first term: x^2 -> sqrt is x last term: 36 -> sqrt is 6 middle test: 2 * x * 6 = 12x ✓ matches x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = (2x - 5)^2
立方和与立方差
与平方不同,立方在和与差两种情形下都能分解。[[sum-of-cubes|立方和]]:a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。[[difference-of-cubes|立方差]]:a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。许多人用的口诀是“SOAP”:二项式取相同(Same)符号,三项式中间项取相反(Opposite)符号,末项总为正(Always Positive)。
x^3 + 8 = x^3 + 2^3
= (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3
= (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)
The trinomial factor (x^2 - ab + b^2) rarely factors further -> usually prime.