分解三项式与 AC 法

简单情形:首项系数为 1

分解三项式 x^2 + bx + c 就是逆向 FOIL:你要找 (x + p)(x + q),其中乘开后 p + q = b 且 p·q = c。所以去找 c 的某个相加等于 b 的因数对。先列出 c 的所有因数对,再检验它们的和。

Factor x^2 + 7x + 12

Need p*q = 12 and p+q = 7
Factor pairs of 12:  1*12 (sum 13)
                     2*6  (sum 8)
                     3*4  (sum 7)  <- this one

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Signs: for x^2 - 7x + 12 use -3 and -4 -> (x - 3)(x - 4)
       for x^2 - x - 12 need product -12, sum -1 -> +3, -4 -> (x + 3)(x - 4)

找出 c 中相加等于 b 的因数对;符号由 c 与 b 决定。

首项系数不为 1 时的 AC 法

当首项系数 a 不为 1 时,凭眼睛逆向 FOIL 会很难。[[ac-method|AC 法]]把它变成机械步骤:计算 a·c,找两个数乘积为 a·c、相加为 b,用它们拆开中间项,再用分组收尾。

Factor 6x^2 + 11x + 3   (a=6, b=11, c=3)

a*c = 6*3 = 18
Need two numbers: product 18, sum 11  ->  9 and 2

Split the middle term 11x as 9x + 2x:
6x^2 + 9x + 2x + 3

Group:  (6x^2 + 9x) + (2x + 3)
      = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3)
      = (2x + 3)(3x + 1)

Check (FOIL): (2x+3)(3x+1) = 6x^2 + 2x + 9x + 3 = 6x^2 + 11x + 3  ✓

用 a·c 的两个数把 11x 拆成 9x + 2x,再分组。

先提出 GCF——绝不跳过,它会缩小 a、b、c。
计算 a·c,找乘积为 a·c、相加为 b 的两个数。
用那两个数把中间项 bx 改写成两项之和。
把四项分组配对分解;用 FOIL 验证。