分数指数与分母有理化

指数里出现分数就代表方根

b^(1/2) 该是什么意思？要求幂的法则仍然成立：(b^(1/2))^2 = b^(1/2 · 2) = b^1 = b。所以 b^(1/2) 是一个平方后等于 b 的数——它就是平方根。一般地，分数指数 1/n 就是 n 次方根：b^(1/n) = b 的 n 次方根。

一般的分数 m/n 把两者结合起来：b^(m/n) 表示先开 n 次方再 m 次乘方，两种顺序都可以。分母是根指数（开几次方），分子是乘方的次数。把 b^(2/3) 读作“先开立方根，再平方”，能让计算更省事。

9^(1/2)  = sqrt(9) = 3
8^(1/3)  = cube root of 8 = 2
8^(2/3)  = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4      (root first, then square)
16^(3/4) = (16^(1/4))^3 = 2^3 = 8

Negative + fractional:  4^(−1/2) = 1 / 4^(1/2) = 1/2

分母 = 开方次数，分子 = 乘方次数。先开方让数字保持小。

对单项分母作有理化

按惯例，我们不把根式留在分母里。有理化的做法是给分数乘上一个巧妙形式的 1，从而去掉它。对单个平方根分母，把分子分母同乘那个相同的根：分母变成整数，而分数的值不变。

  3            3     sqrt(2)     3·sqrt(2)
------  =  ------ · -------  =  ---------
sqrt(2)     sqrt(2)  sqrt(2)        2

   5          5      sqrt(3)    5·sqrt(3)
-------  =  ------ · -------  = ---------
2·sqrt(3)   2·sqrt(3) sqrt(3)       6

乘以 sqrt(2)/sqrt(2) = 1；sqrt(2)·sqrt(2) = 2 把分母变干净。

两项分母：用共轭

当分母是像 1 + sqrt(2) 这样的两项时，乘相同的根并不能把它清掉。改乘共轭——把那两项中间的符号翻过来。乘积遵循 (a+b)(a−b) = a^2 − b^2，平方一来就把根号消掉了。

    1                1        (1 − sqrt(2))
--------- =  --------------- · -------------
1 + sqrt(2)   1 + sqrt(2)       1 − sqrt(2)

denominator: (1)^2 − (sqrt(2))^2 = 1 − 2 = −1

     1 − sqrt(2)
  =  -----------  =  −(1 − sqrt(2))  =  sqrt(2) − 1
        −1

共轭 1 − sqrt(2) 把分母变成 1 − 2 = −1。