方根与根式：平方根、立方根与 n 次方根

方根是乘方的逆运算

一个数的平方根回答的是“什么数平方后得到它？”。因为 5^2 = 25，所以 sqrt(25) = 5。立方根对立方问同样的问题：2^3 = 8，所以 8 的立方根是 2。一般的 n 次方根是 n 次方的逆运算。用符号说，b 的 n 次方根就是那个 n 次方等于 b 的数。

整个符号叫根式。横线下面的数是被开方数，藏在根号弯钩里的小数字——根指数——指明你要的是哪种方根。平方根是默认情形：不写根指数时，它就是 2。所以在“8 的立方根”中，被开方数是 8，根指数是 3。

完全方根与“不太完全”的方根

有些被开方数开得很干净：sqrt(36) = 6，sqrt(100) = 10。这些是完全平方数。多数则不然——sqrt(2)、sqrt(7)、sqrt(50)——它们是无理数，是无限不循环的小数。我们不去四舍五入，而是保留它们的精确根式形式，转而设法把它化得更简单。

用积与商的法则化简

两条法则让你把根式拆开：sqrt(a·b) = sqrt(a)·sqrt(b)，以及 sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)。要化简一个平方根，就找出被开方数最大的完全平方因子，把它分出来，再把它的根号开出来放到前面。剩下的部分留在根号里。

sqrt(50) = sqrt(25 · 2) = sqrt(25) · sqrt(2) = 5·sqrt(2)

sqrt(72) = sqrt(36 · 2) = 6·sqrt(2)

Variables (assume positive):
  sqrt(x^6)   = x^3          (half the even exponent)
  sqrt(18x^5) = sqrt(9·2·x^4·x) = 3x^2·sqrt(2x)

Cube root:  cbrt(54) = cbrt(27 · 2) = 3·cbrt(2)