零指数、负指数与科学记数法

为什么任何数的零次方都是 1

我们希望已经信赖的法则继续成立。用商的法则把一个幂除以它自己：b^n / b^n。约分后显然等于 1；但按法则它是 b^(n−n) = b^0。两个答案必须一致，所以对任何非零底数 b^0 = 1。零指数不是随便约定的——它是唯一能让代数保持自洽的取值。

b^n / b^n = 1           (a thing over itself)
b^n / b^n = b^(n−n)     (quotient rule)
          = b^0

so  b^0 = 1   (b ≠ 0).    Examples: 7^0 = 1,  (−5)^0 = 1,  (2x)^0 = 1

同一个商用两种方式算，把 b^0 钉在了 1 上。

负指数就是倒数

把同样的想法再推一步。b^2 / b^5 约分得 1/b^3，而法则给出 b^(2−5) = b^(−3)。所以 b^(−3) = 1/b^3。一般地，负指数表示取倒数：b^(−n) = 1/b^n。带负指数的因子并非数值为负——它只是该待在分数线的另一边。

2^(−3) = 1 / 2^3 = 1/8
3x^(−2) = 3 / x^2          (only x moves; the 3 stays)
(2/5)^(−1) = 5/2           (flip the fraction)

Move a factor across the bar and flip the sign of its exponent:
  x^(−4) y^2  =  y^2 / x^4

负指数把它的因子送到分数线另一边，指数随之变正。

科学记数法

科学记数法把一个数写成 a · 10^k，其中小数系数 a 满足 1 ≤ a < 10，k 是整数。k 为正时小数点右移（大数）；k 为负时小数点左移（小数）。这正是负指数那套思想换上了工作服。

93,000,000  = 9.3 × 10^7    (move point left 7 places)
0.00042     = 4.2 × 10^(−4) (move point right 4 places)

Multiply: (3 × 10^5)(2 × 10^(−8))
        = (3·2) × 10^(5 + (−8))
        = 6 × 10^(−3) = 0.006

系数相乘，10 的幂用积的法则把指数相加。