指数运算律：积、商与幂的法则

相乘：指数相加

积的法则说：相乘的两个幂如果底数相同，就保留底数、把指数相加：b^m · b^n = b^(m+n)。为什么？因为每个幂不过是一堆因子，把两堆并在一起就成了更大的一堆。数一数就明白了。

2^3 · 2^4 = (2·2·2) · (2·2·2·2)
          = 2·2·2·2·2·2·2
          = 2^7        (3 + 4 = 7)

Check:  2^3 · 2^4 = 8 · 16 = 128 = 2^7  ✓

积的法则就是数因子：3 个加 4 个等于 7 个。

相除：指数相减

商的法则是它的镜像：对同一个非零底数，b^m / b^n = b^(m−n)。相除会把上下相同的因子约掉，留下来的就是因子个数之差。

x^5 / x^2 = (x·x·x·x·x) / (x·x)
          = x·x·x          (two factors cancel)
          = x^3            (5 − 2 = 3)

With coefficients:  20y^7 / 5y^3 = (20/5)·y^(7−3) = 4y^4

约掉共有的因子，剩下的个数就是 m − n。

幂的乘方、积的乘方与商的乘方

幂的法则处理“幂的乘方”：(b^m)^n = b^(m·n)。你有 n 个 b^m，每个带 m 个因子，合起来共 m·n 个因子。还有两个近亲也在这里：积的乘方会分配，(ab)^n = a^n b^n；商的乘方同理，(a/b)^n = a^n / b^n。

(x^3)^4 = x^3 · x^3 · x^3 · x^3 = x^12   (3 · 4 = 12)
(2x)^3  = 2^3 · x^3 = 8x^3
(x/3)^2 = x^2 / 3^2 = x^2 / 9

Mixed:  (2x^2 y)^3 = 2^3 · x^6 · y^3 = 8x^6 y^3

幂的乘方是相乘；积与商的乘方会分配到每个因子上。