每个多项式都有根
在实数上，有些多项式根本没有根——x^2 + 1 = 0 就把你卡住。代数基本定理说，一旦允许复数，这种情况就不再发生：每个带复（因而也包含实）系数的非常数多项式都至少有一个复根。反复使用它，n 次多项式就完全分解成 n 个一次因式，所以按重数计恰有 n 个根。
共轭对与判别式
当多项式具有实系数时，它的非实根成共轭对出现：若 a + bi 是根，则 a - bi 也是根。这就是为什么实系数三次式总有至少一个实根——共三个根，但非实根两两成对，所以必剩下一个是实的。对二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 b^2 - 4ac 道破真相：为负就有两个共轭复根。
solve x^2 - 4x + 13 = 0 by the quadratic formula
x = ( -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ) / (2a), a=1, b=-4, c=13
discriminant: (-4)^2 - 4·1·13 = 16 - 52 = -36 (< 0)
x = ( 4 ± sqrt(-36) ) / 2
= ( 4 ± 6i ) / 2
= 2 ± 3i
roots: 2 + 3i and 2 - 3i — a conjugate pair ✓注意二次公式从未失效——它只是产生了 sqrt(-36)，我们现在把它读作 6i。复数不改变公式；它们只是让公式终于总能算到底。
由根反建多项式
把逻辑倒过来。因为根决定因式，你可以由指定的根反建一个实系数多项式——共轭对相乘又变回实系数二次式，所以没有 i 残留。
build a polynomial with roots 2 + 3i and 2 - 3i:
(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i))
= ( (x - 2) - 3i )( (x - 2) + 3i )
= (x - 2)^2 - (3i)^2 [difference of squares]
= (x^2 - 4x + 4) - (9)(-1)
= x^2 - 4x + 4 + 9
= x^2 - 4x + 13 ← real coefficients, no i