极坐标形式下的乘法
这正是极坐标形式大显身手之处。当你把两个极坐标形式的复数相乘时，模相乘，辐角相加。从几何上看，乘以一个模为 r、角为 θ 的数，就是缩放 r 倍并旋转 θ——乘法就是旋转加缩放。
z1 = r1(cos α + i sin α), z2 = r2(cos β + i sin β)
z1 · z2 = r1·r2 [ cos(α + β) + i sin(α + β) ]
example: 2(cos 30° + i sin 30°) · 3(cos 40° + i sin 40°)
= 6 (cos 70° + i sin 70°)求幂的棣莫弗定理
把 z 自乘 n 次，规则就累积起来：模取 n 次幂，辐角乘以 n。这就是棣莫弗定理。它把像 (1 + i)^10 这样可怕的幂变成一行计算。
[ r(cos θ + i sin θ) ]^n = r^n ( cos nθ + i sin nθ )
example: (1 + i)^10
polar: 1 + i = sqrt(2)(cos 45° + i sin 45°)
power: (sqrt(2))^10 ( cos 450° + i sin 450° )
= 32 (cos 90° + i sin 90°) [450° = 360° + 90°]
= 32 (0 + i·1) = 32i单位根
把棣莫弗定理反过来用就能开根。方程 z^n = 1 恰好有 n 个解，即 n 次单位根。每个的模都是 1（所以它们在单位圆上），辐角以 360°/n 均匀分布。它们是正 n 边形的顶点，其中总有一个在 z = 1。
solve z^3 = 1 (cube roots of unity) 1 = cos(0° + 360°k) + i sin(0° + 360°k), k = 0,1,2 z = cos(120°k) + i sin(120°k) k=0: cos 0° + i sin 0° = 1 k=1: cos 120° + i sin 120° = -1/2 + (sqrt(3)/2) i k=2: cos 240° + i sin 240° = -1/2 - (sqrt(3)/2) i three points, 120° apart, on the unit circle ✓
- 把目标写成极坐标形式，辐角加上 +360°k。
- 对模取 n 次根，并把辐角除以 n。
- 让 k = 0, 1, …, n-1 列出全部 n 个不同的根；更大的 k 只是重复。