复平面、模与辐角

在阿尔冈平面上作图

正如坐标平面容纳有序对，复平面（或阿尔冈图）容纳复数。把 z = a + bi 画在点 (a, b)：水平轴承载实部，竖直轴承载虚部。所以 3 + 2i 在右 3 上 2 处；-1 - 4i 在左 1 下 4 处。

把 z 看成从原点指向 (a, b) 的箭头也很有帮助。这样两个复数相加就成了首尾相接的向量加法——一幅让和看得见的几何图像。

模：离原点多远

z = a + bi 的模记作 |z|，是那个箭头的长度——从原点到 (a, b) 的距离。由勾股定理，|z| = sqrt(a^2 + b^2)。对实数而言这就是它的绝对值，所以 |z| 把 |x| 推广到了平面。注意 |z|^2 = a^2 + b^2 = z·z-bar，把模和共轭联系起来。

z = 3 + 4i
|z| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

z = -1 + i
|z| = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2)

辐角与极坐标形式

z 的辐角记作 arg(z) 或 θ，是箭头与正实轴所成的角，按逆时针方向度量。r = |z| 和 θ 一起完全确定 z：a = r cos θ，b = r sin θ。代入便得极坐标形式 z = r(cos θ + i sin θ)，常简记为 r cis θ。

1. 计算模 r = sqrt(a^2 + b^2)。
2. 由 tan θ = b/a（取 |b/a|）求出参考角。
3. 根据 a 和 b 的符号把 θ 放到正确的象限——不要盲信计算器的反正切。

z = 1 + i
  r = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)
  tan θ = 1/1 = 1, and z is in quadrant I → θ = 45° = π/4
  polar form: sqrt(2)(cos 45° + i sin 45°)

z = -1 + i  (quadrant II)
  r = sqrt(2),  reference angle 45°,  θ = 135° = 3π/4
  polar form: sqrt(2)(cos 135° + i sin 135°)