复数及其运算

a + bi 的形式

复数写作 z = a + bi，其中 a 和 b 是普通实数。我们称 a 为实部，b 为虚部（注意：虚部是实数 b，不是 bi）。当 b = 0 时它就是普通实数；当 a = 0 时它是纯虚数。所以实数作为特例包含在复数之中。

加法和减法很简单：实部和实部合并，虚部和虚部合并，就像代数里合并同类项一样。

(3 + 5i) + (4 - 2i) = (3 + 4) + (5 - 2)i = 7 + 3i
(3 + 5i) - (4 - 2i) = (3 - 4) + (5 + 2)i = -1 + 7i

实部对实部，虚部对虚部。

用 FOIL 做乘法

要相乘两个复数，把它们当作两个二项式，用 FOIL。唯一的新步骤：凡是出现 i^2 的地方，就换成 -1 并整理。

(3 + 2i)(4 - 5i)
  F: 3·4   = 12
  O: 3·(-5i) = -15i
  I: 2i·4  =  8i
  L: 2i·(-5i) = -10i^2 = -10(-1) = +10

  = 12 + 10 + (-15i + 8i)
  = 22 - 7i

先 FOIL，再把 i^2 变成 -1 并合并。

共轭与除法

z = a + bi 的复共轭是 z-bar = a - bi：实部相同，虚部变号。要做除法，把分子和分母同乘分母的共轭。这恰好就是分母有理化——因为 (a + bi)(a - bi) 是实数，从而把分母里的 i 消掉。

(4 + i) / (2 - 3i)

multiply top & bottom by conjugate 2 + 3i:

  numerator:   (4 + i)(2 + 3i) = 8 + 12i + 2i + 3i^2
                              = 8 + 14i - 3 = 5 + 14i
  denominator: (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13

  = (5 + 14i)/13 = 5/13 + (14/13)i

乘以共轭，使分母变为实数。