虚数单位 i

一个平方为负的数

你对任何实数平方，结果都是零或正数：3^2 = 9，而 (-3)^2 = 9 也是。所以方程 x^2 = -1 没有实数解——数轴上根本没有满足它的点。几个世纪以来故事就到此为止。后来数学家做了一个大胆的尝试：与其放弃，不如发明一个填补空缺的新数。

用一条规则定义虚数单位 i：i^2 = -1。这就是全部的想法。由此，负数的平方根忽然有了意义：sqrt(-1) = i，sqrt(-9) = sqrt(9)·sqrt(-1) = 3i，依此类推。像 3i、-2i 或 7i 这样的数，我们称为虚数。

sqrt(-25) = sqrt(25 · -1)
         = sqrt(25) · sqrt(-1)
         = 5 · i
         = 5i

check:  (5i)^2 = 25 · i^2 = 25 · (-1) = -25   ✓

i 的幂循环

一旦知道 i^2 = -1，更高次的幂只要一步步相乘就能得到，而且每四个一组循环。这是关于 i 最有用的计算事实。

i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = i^2 · i = -i
i^4 = i^2 · i^2 = (-1)(-1) = 1
i^5 = i^4 · i = 1 · i = i      ← cycle restarts

rule: i^n depends only on n mod 4
  n ≡ 0 → 1     n ≡ 1 → i
  n ≡ 2 → -1    n ≡ 3 → -i

1. 求 i^n 时，把 n 除以 4，保留余数 r。
2. 读出答案：r = 0 得 1，r = 1 得 i，r = 2 得 -1，r = 3 得 -i。
3. 例：i^23。由于 23 = 4·5 + 3，余数为 3，所以 i^23 = -i。