设定与两条基本消失定理
[[galois-cohomology|伽罗瓦上同调]] 不过是 G = Gal(L/K) 为 伽罗瓦群、模为域所承载之物时的群上同调。两条奠基结果：对 n ≥ 1 有 H^n(G, L) = 0（加法群 L 上同调平凡——这是正规基定理的化身），以及更有用的 H^1(G, L*) = 0，即 [[hilbert-theorem-90|希尔伯特定理 90]] 的上同调形式。加法消失使乘法结果成为有趣者。
循环情形的定理 90，及其为真之由
希尔伯特的原始陈述即循环情形。设 L/K 是 循环扩张，Gal(L/K) = ⟨σ⟩ 为 n 阶。把第 2 篇的循环配方用于乘法模 L*：1-上循环被范数映射所杀，而上边缘落在 σ−1 的像中。展开来说：**若 N_{L/K}(α) = 1，则存在 β ∈ L* 使 α = β/σ(β)**。范数为 1 的元素恰是乘法上边缘。
Cyclic Theorem 90: Gal(L/K) = <sigma>, order n, N(x) = x . sigma(x) . sigma^2(x) ... sigma^{n-1}(x).
Claim: N(alpha) = 1 ==> alpha = beta / sigma(beta).
Proof (the slick cocycle proof). Define the K-linear map on L:
theta = id + alpha*sigma + (alpha*sigma(alpha))*sigma^2 + ... + (alpha*sigma(alpha)...sigma^{n-2}(alpha))*sigma^{n-1}.
By Dedekind's independence of characters the automorphisms 1, sigma, ..., sigma^{n-1}
are linearly independent over L, so theta is NOT the zero map: pick c in L with gamma = theta(c) != 0.
A direct computation using N(alpha)=1 gives
alpha * sigma(gamma) = gamma, i.e. alpha = gamma / sigma(gamma).
Set beta = gamma. Done. (gamma/sigma(gamma) is, in cocycle language, a 1-coboundary.)
WORKED: L = Q(i), K = Q, Gal = {1, conj}, sigma = conjugation, n = 2. N(a+bi) = a^2+b^2.
alpha = (3+4i)/5 has N(alpha) = (9+16)/25 = 1. Find beta = x+iy with alpha = beta/conj(beta):
take beta = 1 + 2i : beta/conj(beta) = (1+2i)/(1-2i) = (1+2i)^2/5 = (-3+4i)/5 ... = (-3+4i)/5.
take beta = 2 + i : (2+i)/(2-i) = (2+i)^2/5 = (3+4i)/5 = alpha. <-- beta = 2+i works.这个算完的例子不止是趣闻：让 β = x + iy 遍历，公式 β/σ(β) 参数化单位圆上每个有理点——Q(i)/Q 上的定理 90 就是 勾股数的有理参数化。抽象的上同调陈述与你自学童时代就知道的结果是同一个定理。
定理 90 换来什么：库默尔理论
把定理 90 喂进 n 次幂映射的长正合列。若 K 含 n 次本原单位根，则序列 1 → μ_n → L* → L* → 1（末映射 x ↦ x^n）在上同调上、经 H^1(G, L*) = 0 抹去一项后，给出洁净的同构 K*/(K*)^n ≅ H^1(G, μ_n) ≅ Hom(G, μ_n)。这正是 [[kummer-extension|库默尔理论]]：K 上指数为 n 的阿贝尔扩张由 K*/(K*)^n 的子群支配。定理 90 是引擎，库默尔理论是车。